쎈미적분1 0593

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 16

0593
난이도 상
극값을 하나만 가질 조건
풀이영상 있음

쎈 미적분1 0593번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

답이 닫힌구간으로 나와야 M, m을 물을 수 있다

“극값을 하나만 갖는다”는 앞의 두 문제와 같은 조건입니다. 다만 이번엔 f′(x)를 x로 묶어 x=0이라는 고정 근이 나오고, 남은 이차식은 x=0을 근으로 가질 수 없다는 점이 핵심입니다. 그래서 경우가 하나 줄고, 판별식 한 줄로 정리됩니다. 최댓값·최솟값을 물었다는 것 자체가 등호를 포함하라는 힌트입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 인수분해는 조립제법이 아니다
f′(x)=4x³+6ax²+4x에는 상수항이 없습니다. 조립제법을 쓸 필요 없이 공통인수 2x로 묶으면 끝입니다.
f′(x)=2x(2x²+3ax+2)
x=0은 a와 관계없이 항상 f′의 근입니다.
힌트 2 — 공통근 경우를 지울 수 있다
앞 문제들에서는 이차식이 고정 근을 함께 갖는 경우를 따로 따졌습니다. 여기서 2x²+3ax+2에 x=0을 넣으면 값이 2이므로 0이 될 수 없습니다.
즉 공통근은 애초에 불가능합니다. 남는 경우는 이차식이 허근을 갖거나 중근을 갖는 두 가지뿐입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
판별식은 D=(3a)²−4·2·2=9a²−16입니다. 허근(D<0)과 중근(D=0)을 합치면 D ≤ 0 한 줄로 끝납니다.
구한 것이 닫힌구간이어야 M과 m이 존재한다는 점을 검산에 쓰세요. 그리고 답은 M+m이 아니라 Mm입니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 Mm = −16/9

쎈 미적분1 0593번 해설 1
쎈 미적분1 0593번 해설 2

풀이영상

더 빠른 길 — 판별식 한 줄

이차식 2x²+3ax+2는 상수항이 0이 아니므로 x=0을 근으로 가질 수 없습니다. 따라서 조건은 “이차식이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다”, 곧 D=9a²−16 ≤ 0 하나로 압축됩니다.
9a² ≤ 16에서 −4/3 ≤ a ≤ 4/3이므로 M=4/3, m=−4/3, Mm=−16/9. 이차부등식으로 바로 풀면 경우 구분 없이 세 줄이면 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 등호를 빼고 열린구간으로 답한다
    −4/3 < a < 4/3으로 답하면 최댓값과 최솟값이 아예 존재하지 않아 문제가 성립하지 않습니다. “M, m을 구하라”는 문구 자체가 등호가 들어간다는 신호입니다. 중근일 때 극값이 하나만 생기는지 반드시 확인하세요.
  • 이차식이 x=0을 근으로 갖는 경우를 검토하다 시간을 버린다
    상수항이 2이므로 x=0 대입값은 항상 2입니다. 공통근 경우는 한 줄로 배제된다는 것을 먼저 확인하면 경우가 둘로 줄어듭니다.
  • 판별식에서 계수를 잘못 잡는다
    2x²+3ax+2에서 D=(3a)²−4·2·2=9a²−16입니다. 일차항 계수가 홀수 형태이므로 D/4를 쓰면 오히려 헷갈립니다. 여기서는 그냥 D로 계산하세요.
  • Mm과 M+m을 혼동한다
    M=4/3, m=−4/3이라 합은 0, 곱은 −16/9입니다. 합으로 착각하면 0이라는 그럴듯한 값이 나오므로 검산으로 걸러지지 않습니다. M과 m을 따로 적고 나서 곱하세요.
  • “극값이 하나”를 극대 1개 + 극소 1개로 읽는다
    사차항 계수가 양수이므로 극솟값은 반드시 존재합니다. 극값이 하나라는 것은 그 극소 하나만 남는다는 뜻이고, 결국 f′(x)=0의 서로 다른 실근이 1개라는 같은 조건입니다.


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