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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 16
0592
난이도 상
극솟값을 갖지 않을 조건
풀이영상 있음
난이도 상
극솟값을 갖지 않을 조건
풀이영상 있음
문제를 읽자마자
출제의도
앞 문제를 위아래로 뒤집은 문제 — 이번엔 극소가 없어야 한다
사차항 계수가 음수(−1)이므로 그래프는 양쪽이 아래로 내려갑니다. 극댓값은 반드시 생기고, 극솟값까지 생기지 않으려면 f′(x)=0의 서로 다른 실근이 1개여야 합니다. 구조는 0591과 완전히 같고, 다른 것은 −4를 묶어낼 때의 부호와 짝수 판별식뿐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 계수 부호부터 확인
x⁴의 계수가 −1입니다. 그래프의 양 끝이 아래로 향하므로 극댓값은 무조건 존재합니다.
따라서 “극솟값을 갖지 않는다”는 조건도 결국 f′(x)=0의 서로 다른 실근이 1개라는 같은 조건으로 번역됩니다. 부호변화가 양 → 음으로 한 번만 일어나면 됩니다.
따라서 “극솟값을 갖지 않는다”는 조건도 결국 f′(x)=0의 서로 다른 실근이 1개라는 같은 조건으로 번역됩니다. 부호변화가 양 → 음으로 한 번만 일어나면 됩니다.
힌트 2 — 고정된 인수 찾기
f′(x)=−4x³+4x²−4(a−2)x−4a에서 먼저 −4로 묶어 보세요. x=−1을 넣으면 0이 되므로
f′(x)=−4(x+1)(x²−2x+a)
a와 무관하게 살아 있는 근은 x=−1입니다. 남은 이차식 x²−2x+a=0을 세 갈래로 나누세요.
f′(x)=−4(x+1)(x²−2x+a)
a와 무관하게 살아 있는 근은 x=−1입니다. 남은 이차식 x²−2x+a=0을 세 갈래로 나누세요.
힌트 3 — 짝수 판별식과 공통근
x²−2x+a에서 일차항 계수가 짝수이므로 D/4 = 1−a로 계산하면 빠릅니다.
① 허근: D/4 < 0
② 공통근: 이차식이 x=−1을 근으로 가질 때
③ −1이 아닌 중근: D/4 = 0
이 문제는 답이 값 하나가 아니라 범위 그대로라는 점도 확인하세요.
① 허근: D/4 < 0
② 공통근: 이차식이 x=−1을 근으로 가질 때
③ −1이 아닌 중근: D/4 = 0
이 문제는 답이 값 하나가 아니라 범위 그대로라는 점도 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = −3 또는 a ≥ 1
풀이영상
더 빠른 길 — 두 줄 조건으로 압축
g(x)=x²−2x+a로 두면 f′(x)=−4(x+1)g(x)입니다. 허근과 중근은 D/4 = 1−a ≤ 0, 즉 a ≥ 1로 한 번에 묶이고, 공통근은 g(−1)=3+a=0, 즉 a=−3입니다.
검산: a=−3이면 f′(x)=−4(x+1)²(x−3)이라 x=3에서 극대만, a=1이면 f′(x)=−4(x+1)(x−1)²이라 x=−1에서 극대만 생깁니다. 두 경계 모두 조건을 만족합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
−4를 묶으면서 부호를 흘린다
−4x³+4x²−4(a−2)x−4a에서 −4로 묶으면 안쪽은 x³−x²+(a−2)x+a가 됩니다. 부호를 한 칸씩 확인하며 옮겨 적고, x=−1을 대입해 0이 되는지로 검산하세요. -
고정 인수를 x=1로 착각한다
0591은 (x−1), 이 문제는 (x+1)입니다. 유형이 같다고 앞 문제의 인수를 그대로 옮겨 쓰면 공통근 조건이 통째로 어긋납니다. 반드시 직접 대입해 확인하세요. -
공통근 조건에 x=1을 대입한다
확인해야 할 것은 g(−1)=1+2+a=3+a=0입니다. 부호를 반대로 넣어 a=−1이 나왔다면 이 실수입니다. -
a ≥ 1의 등호와 a=−3을 둘 다 놓친다
중근일 때는 그 점에서 부호가 바뀌지 않아 극값이 생기지 않으므로 a=1도 답에 포함됩니다. 최종 답은 “a=−3 또는 a ≥ 1″이며, a ≥ −3처럼 이어 붙이면 안 됩니다. -
서술형인데 경우 구분을 쓰지 않는다
이 문항은 답만 적는 문제가 아닙니다. “f′(x)=0의 서로 다른 실근이 1개”라는 번역 한 줄과 (i)(ii) 경우 구분이 채점 포인트입니다. 결론만 맞아도 감점됩니다.
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