쎈미적분1 0591

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 16

0591
대표 문제
사차함수가 극값을 갖지 않을 조건
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쎈 미적분1 0591번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

극댓값이 없다 = f′(x)=0에서 부호가 한 번만 바뀐다

사차항 계수가 양수이므로 이 함수는 극솟값을 반드시 갖습니다. 따라서 통제 대상은 극댓값 하나뿐이고, 조건은 “f′(x)=0의 서로 다른 실근이 1개”로 번역됩니다. 판별식 D<0 하나로 끝나지 않고 중근·공통근까지 갈라야 한다는 것이 이 유형의 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 번역하기
“극댓값을 갖지 않는다”를 그래프로 떠올려 보세요. 최고차항 계수가 양수인 사차함수는 극소는 무조건 생깁니다. 극대까지 생기지 않으려면 f′(x)의 부호가 음 → 양으로 딱 한 번만 바뀌어야 합니다.
즉 f′(x)=0의 서로 다른 실근이 1개여야 합니다. 이것이 출발점입니다.
힌트 2 — f′(x)를 인수분해
f′(x)=2x³+2(a−1)x−2a에 x=1을 넣으면 0이 됩니다. 조립제법으로 뽑아내면
f′(x)=2(x−1)(x²+x+a)
인수 (x−1)은 a와 무관하게 항상 있습니다. 그러면 남은 이차식 x²+x+a=0이 어떤 근을 가져야 할지만 따지면 됩니다. 세 갈래가 나옵니다.
힌트 3 — 세 갈래를 빠뜨리지 않기
① 이차식이 허근을 가질 때 → 판별식 D<0
② 이차식이 x=1을 근으로 가질 때 → x=1이 중근이 되어 부호변화가 한 곳에서만 일어납니다
③ 이차식이 1이 아닌 중근을 가질 때 → D=0
세 결과를 합집합으로 모으고, 문제가 물은 것은 범위가 아니라 최솟값이라는 점을 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ①  a의 최솟값 = −2

쎈 미적분1 0591번 해설 1
쎈 미적분1 0591번 해설 2

풀이영상

더 빠른 길 — 세 경우를 두 줄로 줄이기

g(x)=x²+x+a로 두면 f′(x)=2(x−1)g(x)입니다. 허근일 때와 중근일 때는 결국 D=1−4a ≤ 0, 즉 a ≥ 1/4 하나로 묶입니다. 여기에 x=1이 공통근인 경우 g(1)=2+a=0, 즉 a=−2만 따로 붙이면 끝입니다.
답은 a=−2 또는 a ≥ 1/4. 고립점 −2가 1/4보다 작으므로 최솟값은 −2입니다. 참고로 g(1)=0과 D=0은 동시에 성립할 수 없어(a=−2일 때 D=9) 삼중근은 아예 나오지 않습니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 판별식 D<0만 계산하고 끝낸다
    이 경우 a > 1/4만 남아 최솟값을 1/4(③)로 답하게 됩니다. 선택지 ③은 정확히 이 실수를 노린 자리입니다. 중근·공통근 두 갈래를 반드시 추가하세요.
  • 고립된 값 a=−2를 빠뜨린다
    사차함수 극값 조건의 답은 “범위 + 고립점” 형태로 나오는 일이 흔합니다. x=1이 이미 f′의 근이므로, 이차식도 x=1을 근으로 갖는 경우를 항상 따로 점검하세요.
  • D=0의 등호를 빼먹는다
    중근이면 그 점에서 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 생기지 않습니다. 즉 a=1/4은 조건을 만족하고, 답은 a > 1/4이 아니라 a ≥ 1/4입니다.
  • 극대와 극소를 뒤집어 생각한다
    사차항 계수가 양수(1/2)이면 그래프는 양쪽이 위로 올라가므로 극솟값은 반드시 존재합니다. “극댓값이 없다”는 조건은 극점 개수를 1개로 만드는 조건이라고 외워 두세요.
  • 범위만 적고 답을 읽지 않는다
    구한 것은 a의 값의 범위이고, 문제가 요구한 것은 최솟값입니다. a=−2 또는 a ≥ 1/4을 수직선에 그린 뒤 가장 왼쪽 값을 답으로 쓰세요.


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