쎈미적분1 0590

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용

0590
난이도 중
사차함수가 극댓값을 가질 조건
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쎈 미적분1 0590번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

극댓값이 생기려면 서로 다른 세 실근이 필요한데, x=0이 이미 한 자리를 차지하고 있다

f′(x)는 상수항이 없어 2x로 묶입니다. 그래서 x=0은 a와 무관하게 항상 근이고, 남은 이차식은 “서로 다른 두 실근”과 “그 근이 0이 아닐 것” 두 가지를 동시에 만족해야 합니다. 답의 형태가 a < α 또는 β < a < γ로 주어진 것 자체가 중간에 구멍 하나가 뚫린다는 예고입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 근의 개수로 번역
사차항 계수가 양수이므로 극솟값은 언제나 존재합니다. 여기에 극댓값까지 생기려면 그래프가 내려갔다 올라갔다 다시 내려갔다 올라가야 하고, 그것은 f′(x)의 부호가 세 번 바뀐다는 뜻입니다.
즉 f′(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 합니다.
힌트 2 — 묶어내면 보이는 고정 근
f′(x)=4x³+6x²+2ax에는 상수항이 없습니다. 조립제법이 아니라 공통인수 2x로 묶으면 끝입니다.
f′(x)=2x(2x²+3x+a)
x=0은 항상 근이므로, 나머지 두 근은 이차식 2x²+3x+a=0에서 나와야 합니다. 이 이차식이 만족해야 할 조건이 두 가지인데 무엇일까요?
힌트 3 — 잊기 쉬운 두 번째 조건
첫째, 서로 다른 두 실근이어야 하므로 D=9−8a > 0.
둘째, 그 두 근이 이미 있는 근 x=0과 겹치면 실근이 세 개가 되지 못합니다. 이차식에 x=0을 대입하면 값이 a이므로 a ≠ 0.
두 조건을 합친 뒤, 문제가 준 답의 틀 a < α 또는 β < a < γ에 그대로 맞춰 읽으세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 α+β+γ = 9/8

쎈 미적분1 0590번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — a를 분리해서 그래프로 읽기

2x²+3x+a=0을 a = −2x²−3x로 분리하고 g(x)=−2x²−3x의 그래프를 그립니다. 위로 볼록하고 x=−3/4에서 최댓값 9/8, 그리고 g(0)=0입니다.
수평선 y=a가 이 포물선과 서로 다른 두 점에서 만나되 그 교점이 x=0이 아니어야 하므로, 그래프에서 곧바로 a < 9/8 이고 a ≠ 0을 읽어 냅니다. 판별식과 대입 검토를 한 장의 그림으로 대신할 수 있어 실수가 줄어듭니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • a ≠ 0 조건을 빠뜨린다
    판별식만 따져 a < 9/8로 끝내면 답의 형태(구간이 둘로 갈라짐)와 아예 맞지 않습니다. 고정 근 x=0이 이차식의 근이 되는 순간을 반드시 제외하세요. 문제가 제시한 답의 틀이 이 조건을 빼먹지 말라는 신호입니다.
  • 판별식에 등호를 넣는다
    D=0이면 이차식이 중근이 되어 f′(x)=0의 서로 다른 실근이 두 개뿐입니다. 이때는 극댓값이 생기지 않으므로 D ≥ 0이 아니라 D > 0입니다.
  • ax²의 미분을 ax로 적는다
    f′(x)=4x³+6x²+2ax입니다. 계수 2를 흘리면 이차식이 2x²+3x+a/2가 되어 판별식부터 달라집니다. 묶어낸 뒤 x=0 대입값이 a인지로 검산하세요.
  • α, β, γ를 순서대로 읽지 않는다
    범위는 a < 0 또는 0 < a < 9/8이므로 α=0, β=0, γ=9/8입니다. β=0을 빼먹고 두 값만 더하는 실수가 잦습니다. 세 문자를 따로 적어 놓고 더하세요.
  • 극댓값과 극값을 같은 말로 읽는다
    사차항 계수가 양수면 극솟값은 항상 있으므로 “극값이 존재한다”는 조건이 되지 않습니다. 극댓값을 요구했다는 것은 곧 f′(x)=0의 서로 다른 실근이 세 개라는 뜻입니다.


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