쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0589
대표 문제
사차함수가 극솟값을 가질 조건
풀이영상 있음
대표 문제
사차함수가 극솟값을 가질 조건
풀이영상 있음
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다음 중 함수 f(x)=−x⁴+4x³+2ax²이 극솟값을 갖도록 하는 실수 a의 값이 될 수 있는 것은?
- ① −20
- ② −16
- ③ −10
- ④ −6
- ⑤ −2
문제를 읽자마자
출제의도
사차함수는 모자란 쪽만 조건이 붙는다 — 여기서 걸린 것은 극솟값
최고차항의 계수가 음수인 사차함수는 극댓값은 반드시 갖고, 극솟값은 가질 수도 있고 못 가질 수도 있습니다. 그러니 “극솟값을 갖는다”는 조건은 곧 f′(x)=0이 서로 다른 세 실근을 갖는다는 뜻입니다. 삼차식 f′을 인수분해하면 x=0이 근으로 먼저 튀어나오므로, 남은 이차식이 0이 아닌 서로 다른 두 실근을 갖게 하는 것이 이 문제의 전부입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 사차함수의 극값 규칙부터
최고차항 계수가 음수인 사차함수는 양 끝에서 아래로 내려갑니다. 그래서 극댓값은 항상 존재하고, 극솟값이 있으려면 그래프가 M자를 뒤집은 모양(내려갔다 올라갔다 다시 내려가는)이어야 합니다.
그 모양이 되려면 f′(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 합니다.
그 모양이 되려면 f′(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가져야 합니다.
힌트 2 — f′을 인수분해하면 근 하나가 공짜
f′(x)=−4x³+12x²+4ax=−4x(x²−3x−a)입니다.
x=0이 이미 한 근이므로, 남은 이차방정식 x²−3x−a=0이 서로 다른 두 실근을 갖고 그 근이 0과 겹치지 않아야 세 근이 “서로 다른” 세 실근이 됩니다.
x=0이 이미 한 근이므로, 남은 이차방정식 x²−3x−a=0이 서로 다른 두 실근을 갖고 그 근이 0과 겹치지 않아야 세 근이 “서로 다른” 세 실근이 됩니다.
힌트 3 — 두 개의 조건, 하나도 빠뜨리지 않기
첫째, 판별식 D=9+4a>0에서 a>−9/4.
둘째, x=0이 x²−3x−a=0의 근이 아니어야 하므로 0−0−a≠0, 즉 a≠0.
−9/4=−2.25입니다. 선택지 다섯 개 중 이 값보다 큰 것은 몇 개인가요?
둘째, x=0이 x²−3x−a=0의 근이 아니어야 하므로 0−0−a≠0, 즉 a≠0.
−9/4=−2.25입니다. 선택지 다섯 개 중 이 값보다 큰 것은 몇 개인가요?
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤
다른 풀이 — 두 그래프의 교점으로 보기
x²−3x−a=0을 x²−3x=a로 옮기면, 포물선 y=x²−3x와 수평선 y=a의 교점 문제가 됩니다. 이 포물선의 최솟값은 x=3/2에서 −9/4이므로 교점이 두 개이려면 a>−9/4.
게다가 x=0에서 y=0이므로, a=0이면 수평선이 원점을 지나 x=0이 중복되어 근이 두 개로 줄어듭니다. 그래서 a≠0.
판별식과 대입을 따로 하지 않고 그림 한 장으로 −9/4<a<0 또는 a>0을 읽어낼 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
극댓값 조건과 극솟값 조건을 바꿔 쓴다
최고차항 계수가 음수이면 극댓값이 항상 있고 극솟값이 조건부입니다. 계수가 양수인 문항과 짝으로 출제되므로, 문제를 읽자마자 “−x⁴ → 극댓값은 공짜, 극솟값이 조건”이라고 여백에 적어 두세요. -
f′을 인수분해하지 않고 판별식부터 찾는다
f′은 삼차식이라 판별식을 바로 쓸 수 없습니다. −4x로 묶어 x=0을 떼어낸 뒤에야 이차식의 판별식을 쓸 수 있습니다. 묶기 전에 D를 쓰기 시작했다면 그 줄은 버리세요. -
a≠0 조건을 빠뜨린다
a=0이면 f′(x)=−4x·x(x−3)=−4x²(x−3)으로 x=0이 중근이 되어 실근이 0과 3 두 개뿐입니다. 이때는 극솟값이 생기지 않습니다. “서로 다른 세 실근”의 서로 다른을 놓치면 나오는 대표적 누락입니다. -
−9/4를 −2.25가 아닌 다른 값으로 어림한다
D=9+4a>0에서 a>−9/4=−2.25입니다. −2.5나 −4로 잘못 어림하면 선택지 ④(−6)까지 답으로 보입니다. 분수를 소수로 한 번 바꿔 적고 선택지와 비교하세요. -
선택지를 확인하지 않고 범위만 답한다
구한 범위는 −9/4<a<0 또는 a>0입니다. 주어진 다섯 개 중 −2.25보다 큰 것은 −2 하나뿐이고, 0이 아니므로 조건을 만족합니다. 범위를 구한 뒤 반드시 선택지에 대입해 보세요. -
D≥0으로 쓴다
D=0이면 이차식이 중근을 가져 f′의 실근이 두 개로 줄고, 그래프는 극솟값 없이 꺾이기만 합니다. 이 유형에서 등호는 언제나 극값이 사라지는 경계이므로 D>0이어야 합니다.