쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0588
난이도 중
구간에서 극값이 하나
서술형
풀이영상 있음
난이도 중
구간에서 극값이 하나
서술형
풀이영상 있음
▶ 풀이영상 먼저 보기
함수 f(x)=−x³+6x²+kx+3이 구간 (0, 5)에서 하나의 극값만 갖도록 하는 정수 k의 개수를 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
두 근이 대칭축을 공유한다는 사실 하나로 조건이 절반으로 줄어드는 문제
앞 문항(0587)처럼 근의 위치를 묻지만, 여기서는 k가 상수항에만 들어 있어 f′(x)=−3x²+12x+k의 축이 x=2로 고정됩니다. 두 근은 언제나 2에 대해 대칭이므로, 구간 (0, 5)에 근이 하나만 들어가려면 큰 근이 4 이상 5 미만이어야 한다는 결론이 바로 나옵니다. 서술형이므로 조건 세우기 40%, 범위 40%, 개수 20%로 과정 자체에 점수가 붙어 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — k가 움직여도 변하지 않는 것
f′(x)=−3x²+12x+k에서 k는 상수항입니다. 축의 방정식 x=−12/(2·(−3))=x=2는 k와 무관하게 고정이고, k가 커지면 포물선이 위아래로 평행이동할 뿐입니다.
즉 두 근은 항상 2−d, 2+d 꼴입니다. f′(0)=f′(4)가 성립하는 이유도 이것입니다.
즉 두 근은 항상 2−d, 2+d 꼴입니다. f′(0)=f′(4)가 성립하는 이유도 이것입니다.
힌트 2 — “하나만”을 근의 개수로 번역
극값의 개수 = 구간 안에서 f′이 부호를 바꾸는 점의 개수입니다. 두 근 2−d, 2+d가 모두 (0, 5)에 있으면 극값이 두 개가 되어 버립니다.
대칭성 때문에 작은 근이 0 이하로 밀려나야 하고, 그때 큰 근은 4 이상이 됩니다. 동시에 큰 근은 5보다 작아야 구간 안에 남습니다. → 큰 근이 4 이상 5 미만.
대칭성 때문에 작은 근이 0 이하로 밀려나야 하고, 그때 큰 근은 4 이상이 됩니다. 동시에 큰 근은 5보다 작아야 구간 안에 남습니다. → 큰 근이 4 이상 5 미만.
힌트 3 — 근의 범위를 부등식으로
위로 볼록한 포물선은 두 근 사이에서 값이 양수입니다. 큰 근이 4 이상이라는 것은 x=4가 아직 두 근 안쪽(또는 근)이라는 뜻이므로 f′(4)≥0, 큰 근이 5보다 작다는 것은 x=5가 바깥이라는 뜻이므로 f′(5)<0입니다.
f′(4)=k, f′(5)=−15+k를 대입해 정리한 뒤 정수의 개수를 세세요. 끝점 포함 여부에서 개수가 갈립니다.
f′(4)=k, f′(5)=−15+k를 대입해 정리한 뒤 정수의 개수를 세세요. 끝점 포함 여부에서 개수가 갈립니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 15
채점기준으로 본 답안 작성 요령
① 40% — “f′의 축이 x=2로 고정 → 두 근이 대칭 → 구간 (0, 5)에서 극값이 하나이려면 f′(x)=0이 4≤x<5에서 하나의 실근을 가져야 한다”까지를 문장으로 적습니다. 그림 한 개를 함께 그리면 이 단계가 가장 안전하게 인정됩니다.
② 40% — f′(4)=k≥0, f′(5)=−15+k<0을 각각 세우고 0≤k<15로 정리합니다. 두 부등식을 모두 쓰고 공통범위를 잡는 과정이 보여야 합니다.
③ 20% — “따라서 정수 k는 0, 1, 2, …, 14의 15개”라고 마지막 줄에 개수를 다시 씁니다. 범위까지만 쓰고 끝내면 이 20%가 통째로 날아갑니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
0587처럼 f′(0)>0, f′(5)<0으로 세운다
앞 문항은 두 근이 자유롭게 움직였지만 여기서는 축이 x=2로 고정입니다. 작은 근이 0 이하면 큰 근은 자동으로 4 이상이므로 왼쪽 끝점 조건을 따로 쓸 필요가 없고, 대신 x=4가 판정점이 됩니다. 축이 고정인지부터 확인하는 것이 이 유형의 갈림길입니다. -
f′이 아래로 볼록하다고 착각한다
f′(x)=−3x²+12x+k는 x² 계수가 −3이라 위로 볼록입니다. 위로 볼록한 포물선은 두 근 사이에서 양수이므로 부등호 방향이 0587과 정반대입니다. 최고차항 부호를 먼저 동그라미 치세요. -
f′(4)≥0의 등호를 뺀다
k=0이면 f′(x)=−3x(x−4)로 근이 0과 4입니다. 근 0은 열린구간 (0, 5)에 포함되지 않으므로 구간 안의 극값은 x=4 하나뿐, 조건을 만족합니다. 등호를 빼면 k=0이 사라져 답이 14개가 됩니다. -
f′(5)<0에 등호를 붙인다
k=15이면 큰 근이 정확히 x=5인데, 구간이 열린구간이라 x=5는 포함되지 않아 구간 안에 극값이 없습니다. 등호를 붙이면 답이 16개가 됩니다. 왼쪽 끝과 오른쪽 끝에서 등호의 운명이 반대라는 점이 이 문제의 핵심입니다. -
f′(4)=k 계산에서 막힌다
f′(4)=−3·16+12·4+k=−48+48+k=k, f′(5)=−75+60+k=k−15입니다. 축 x=2에 대해 0과 4가 대칭이므로 f′(4)=f′(0)=k인 것을 이용하면 대입 없이도 바로 나옵니다. -
정수의 개수를 15가 아닌 14로 센다
0부터 14까지는 14−0+1=15개입니다. 0을 빼먹거나 “끝−처음”으로 세는 습관 때문에 한 개가 사라집니다. 개수를 묻는 서술형에서는 마지막 줄에 0, 1, 2, …, 14를 나열해 두고 세는 편이 안전합니다.