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쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 도함수의 활용
0584
난이도 중
서술형
삼차함수가 극값을 가질 · 갖지 않을 조건
풀이영상 있음
난이도 중
서술형
삼차함수가 극값을 가질 · 갖지 않을 조건
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함수 f(x)=x³+ax²+3x−7은 극값을 갖지 않고, 함수 g(x)=−x³+2ax²−ax+1은 극값을 가질 때, 정수 a의 개수를 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
한 문제 안에서 등호가 붙는 조건과 등호가 빠지는 조건을 동시에 쓰게 만든 문제
삼차함수의 극값 유무는 도함수(이차식)가 서로 다른 두 실근을 갖는지의 문제로 완전히 바뀝니다. “극값을 갖지 않는다”는 중근·허근까지 허용하므로 D≤0, “극값을 갖는다”는 반드시 서로 다른 두 실근이므로 D>0. 이 등호 하나로 정수 개수가 달라지도록 설계된 서술형 문항입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
f(x), g(x)를 직접 그려 보려 하고 있다면 멈추세요. 삼차함수의 극값 유무는 f′(x)=0의 실근 개수 하나로 결정됩니다.
f′(x), g′(x)는 모두 이차식이니 볼 것은 판별식뿐입니다. 두 조건 중 부등호에 등호가 붙는 쪽은 어디일까요?
f′(x), g′(x)는 모두 이차식이니 볼 것은 판별식뿐입니다. 두 조건 중 부등호에 등호가 붙는 쪽은 어디일까요?
힌트 2 — f(x)의 조건
f′(x)=3x²+2ax+3입니다. 극값을 갖지 않으려면 f′(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 하므로 D/4=a²−9≤0.
여기서 −3≤a≤3이 나옵니다. a=±3도 살아 있다는 점을 기억하세요.
여기서 −3≤a≤3이 나옵니다. a=±3도 살아 있다는 점을 기억하세요.
힌트 3 — g(x)의 조건과 마무리
g′(x)=−3x²+4ax−a입니다. 극값을 가지려면 서로 다른 두 실근이어야 하므로 D/4=4a²−3a>0, 즉 a(4a−3)>0.
이차부등식 (양수)>0은 두 근의 바깥쪽이므로 a<0 또는 a>3/4.
이제 두 범위의 공통부분을 잡고, 그 안의 정수를 하나하나 적어 세면 됩니다.
이차부등식 (양수)>0은 두 근의 바깥쪽이므로 a<0 또는 a>3/4.
이제 두 범위의 공통부분을 잡고, 그 안의 정수를 하나하나 적어 세면 됩니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 6 (정수 a는 −3, −2, −1, 1, 2, 3)
풀이영상
서술형 채점 포인트 — 점수가 붙는 줄은 정해져 있다
① f(x)가 극값을 갖지 않도록 하는 a의 범위(−3≤a≤3) … 40%
② g(x)가 극값을 갖도록 하는 a의 범위(a<0 또는 a>3/4) … 40%
③ 공통범위에서 정수 a의 개수(6) … 20%
답만 6이라고 써도 20%입니다. 반대로 ①②의 부등호와 등호를 정확히 적으면 계산이 조금 틀려도 80%가 확보됩니다. 두 조건을 반드시 문장으로 분리해서 쓰세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
“극값을 갖지 않는다”에 등호를 빼먹는다
중근이면 f′(x)의 부호가 바뀌지 않아 극값이 없습니다. 그래서 D≤0이고, a=−3과 a=3도 답에 포함됩니다. 등호를 빼면 개수가 6이 아니라 4가 됩니다. -
“극값을 갖는다”에 등호를 붙인다
이쪽은 반드시 서로 다른 두 실근이므로 D>0입니다. a=0과 a=3/4은 제외됩니다. 특히 a=0을 살려두면 개수가 7이 됩니다. -
a(4a−3)>0을 0<a<3/4로 푼다
이차식의 값이 양수인 구간은 두 근의 바깥입니다. a<0 또는 a>3/4. 안쪽 구간으로 잡으면 이후 공통범위가 통째로 어긋납니다. -
g′(x)의 최고차항이 음수라 판별식 부호를 헷갈린다
판별식은 최고차항의 부호와 무관합니다. −3x²+4ax−a에서 D/4=(2a)²−(−3)(−a)=4a²−3a. 계산만 정확히 하면 됩니다. -
정수를 세지 않고 범위만 쓰고 끝낸다
공통범위는 −3≤a<0 또는 3/4<a≤3입니다. −3, −2, −1, 1, 2, 3을 직접 나열해서 세세요. 문제가 요구한 것은 합이 아니라 개수입니다.
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