쎈미적분1 0585

작성자:

풀이영상 먼저 보기

쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 도함수의 활용

0585
유형14 대표문제
삼차함수가 주어진 구간에서 극값을 가질 조건
풀이영상 있음

함수 f(x)=x³+3x²+ax가 구간 (−2, 0)에서 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 모든 정수 a의 값의 합을 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

극값 조건에 구간이 붙는 순간, 이차방정식의 실근의 위치 문제로 바뀐다

“극댓값과 극솟값을 모두 갖는다”는 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 갖는다는 뜻이고, 여기에 “구간 (−2, 0)에서”가 붙으면 그 두 근이 −2와 0 사이에 놓여야 합니다. 판별식만으로는 절대 끝나지 않고, ① 판별식 ② 구간 양 끝에서의 f′의 부호 ③ 축의 위치, 이 세 가지를 세트로 조사하라는 것이 이 유형의 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 무엇을 조사할지 정하기
f′(x)=3x²+6x+a로 놓고 판별식만 계산했다면 절반만 한 것입니다. 구하는 조건은 f′(x)=0의 두 실근이 모두 −2와 0 사이라는 것.
아래로 볼록한 이차함수 y=f′(x)의 그래프를 −2와 0 사이에서만 x축과 두 번 만나게 그려 보세요. 그림에서 세 가지 조건이 읽힙니다.
힌트 2 — 판별식과 양 끝값
(i) 서로 다른 두 실근: D/4=9−3a>0 ⟹ a<3.
(ii) 두 근이 구간 안쪽에 있으면 구간 밖인 x=−2, x=0에서 f′의 값은 양수입니다. f′(−2)와 f′(0)을 각각 계산해 보세요. 두 값이 모두 같은 식이 됩니다.
힌트 3 — 축 확인과 마지막 한 걸음
(iii) y=f′(x)의 축은 x=−1이고, 이는 항상 −2<x<0 안에 있으므로 자동으로 만족합니다(그래도 서술형에서는 이 줄을 써야 합니다).
세 조건을 모두 만족하는 범위는 0<a<3. 그리고 문제가 물은 것은 정수의 개수가 아니라 합이라는 걸 다시 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 3  (0<a<3, 정수 a=1, 2 ⟹ 1+2=3)

쎈 미적분1 0585번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — a를 분리해서 그래프로 보기

3x²+6x+a=0에서 a=−3x²−6x=−3(x+1)²+3. 즉 −2<x<0에서 곡선 y=−3(x+1)²+3과 수평선 y=a가 두 점에서 만나야 합니다.
이 곡선은 x=−1에서 최댓값 3, 양 끝 x=−2, 0에서 값이 0이므로 두 점에서 만나는 조건은 0<a<3. 판별식·양 끝값·축을 따로 볼 필요 없이 그림 한 장으로 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 판별식만 보고 a<3에서 멈춘다
    이 조건은 “어딘가에서 두 실근”일 뿐입니다. 구간 조건을 빼면 a=0, a=−5 같은 값까지 들어와 답이 완전히 달라집니다. 구간이 나오면 조건은 항상 세 개입니다.
  • f′(−2)<0, f′(0)<0으로 잡는다
    y=f′(x)는 아래로 볼록이므로 두 근 사이에서 음수, 바깥에서 양수입니다. −2와 0은 두 근의 바깥이므로 f′(−2)>0, f′(0)>0. 부호를 뒤집으면 답이 나오지 않습니다.
  • f′(−2) 계산에서 부호를 흘린다
    f′(−2)=3·4+6·(−2)+a=12−12+a=a. 12와 −12가 지워져 결국 a>0 하나로 정리되는 것이 이 문제의 핵심 계산입니다. 여기서 틀리면 범위가 통째로 어긋납니다.
  • 축 조건을 아예 쓰지 않는다
    이 문제에서는 축 x=−1이 항상 구간 안이라 결과가 바뀌지 않지만, 축이 구간 밖이면 두 근이 한쪽으로 몰려 조건이 깨집니다. 습관적으로 세 줄을 다 쓰세요.
  • 정수의 개수 2를 답으로 쓴다
    0<a<3의 정수는 1, 2로 2개지만 물은 것은 합입니다. 1+2=3. 개수·합·곱을 마지막에 한 번 더 확인하세요.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기