쎈미적분1 0580

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 12

0580
난이도 중
삼차함수가 극값을 가질 조건
풀이영상 있음

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삼차함수 f(x)=ax³+3x²+ax+5 가 극값을 갖도록 하는 정수 a의 개수는?

  1. ① 1
  2. ② 2
  3. ③ 3
  4. ④ 4
  5. ⑤ 5

문제를 읽자마자

출제의도

판별식 조건에 a≠0이라는 숨은 조건을 하나 더 겹치는 문제

0578·0579와 계산 과정은 똑같습니다. 다른 점은 최고차항 계수 자리에 문자 a가 앉아 있다는 것. 문제가 “삼차함수”라고 못 박았으므로 a=0은 애초에 후보가 될 수 없고, 이 한 칸을 빼느냐 마느냐로 정답이 3개에서 2개로 바뀝니다. 개수를 묻는 문제는 언제나 이 지점을 노립니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 문제의 첫 단어
문제는 “함수”가 아니라 “삼차함수” f(x)=ax³+3x²+ax+5 라고 했습니다. 삼차함수이려면 x³의 계수가 0이면 안 됩니다.
즉 a≠0. 이 조건을 문제 옆에 먼저 써 두고 시작하세요. 그다음 f′(x)를 구합니다.
힌트 2 — 판별식
f′(x)=3ax²+6x+a. 극값을 가지려면 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 D>0.
x의 계수가 6이니 D/4 = 3² − 3a·a = 9−3a². 9−3a²>0을 a에 대해 풀어 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
a²<3 ⟹ −√3<a<√3. √3≈1.732이므로 이 구간 안의 정수는 −1, 0, 1 세 개입니다.
여기서 힌트 1의 조건을 다시 꺼내세요. 셋 중 하나는 삼차함수가 되지 못합니다. 몇 개가 남나요?

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ②  a = −1, 1 의 2개

쎈 미적분1 0580번 해설

풀이영상

a=0이면 무슨 일이 생기나 — 직접 확인

a=0을 넣으면 f(x)=3x²+5, 즉 이차함수입니다. 이 함수는 x=0에서 극솟값 5를 “갖기는” 합니다.
그래서 문제가 “함수”라고만 했다면 a=0도 답이 되어 3개가 됩니다. 하지만 삼차함수라고 명시했으므로 후보에서 제외 — 정답은 2개입니다. 문제의 단어 하나가 선지를 바꿉니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • a≠0을 빼먹고 3개라고 답한다
    이 문제가 노리는 단 하나의 함정입니다. 최고차항 계수에 문자가 있으면 “○차함수”라는 단어를 보는 즉시 그 계수≠0을 여백에 적으세요.
  • D/4를 계산할 때 a를 한쪽만 쓴다
    f′(x)=3ax²+6x+a에서 상수항도 a입니다. D/4=3²−(3a)(a)=9−3a². 3a·a를 3a로 잘못 쓰면 범위가 완전히 달라집니다.
  • a²<3을 a<√3으로만 쓴다
    제곱 부등식은 절댓값입니다. |a|<√3 ⟹ −√3<a<√3. 음수 쪽 경계를 빠뜨리면 정수 −1이 사라져 개수가 1개가 됩니다.
  • √3의 크기를 어림하지 않고 넘어간다
    √3≈1.73입니다. 구간 안 정수는 −1, 0, 1뿐. ±2는 4>3이라 들어오지 못합니다. 경계 근처 정수는 반드시 제곱해서 확인하세요.
  • a의 개수가 아니라 a의 값을 답으로 적는다
    구한 것은 −1과 1, 물은 것은 개수입니다. 값을 먼저 나열하고 세는 습관을 들이면 선지에 낚이지 않습니다.


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