쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 12
0579
난이도 하
서술형
삼차함수가 극값을 가질 조건
풀이영상 있음
난이도 하
서술형
삼차함수가 극값을 가질 조건
풀이영상 있음
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함수 f(x)=x³−ax²−ax+2 가 극값을 갖도록 하는 실수 a의 값의 범위가 a<α 또는 a>β 일 때, α−β의 값을 구하시오.
문제를 읽자마자
출제의도
범위의 모양을 미리 알려주고, 그 자리에 들어갈 두 수를 채우게 하는 문제
문제가 답의 형태를 “a<α 또는 a>β”로 못 박아 두었습니다. 곧 판별식 조건에서 나올 범위가 두 근의 바깥쪽이라는 사실을 미리 알려준 셈입니다. 서술형이므로 계산 결과가 아니라 극값 존재 ⟹ f′(x)=0의 서로 다른 두 실근 ⟹ D>0이라는 논리 사슬을 문장으로 남기는 것이 점수의 절반입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 첫 문장부터 쓰기
서술형의 첫 줄은 계산이 아니라 근거입니다. “삼차함수 f(x)가 극값을 가지려면 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다“를 먼저 쓰세요.
이 한 줄이 채점기준 ❶(40%)입니다. 그다음 f′(x)를 구하면?
이 한 줄이 채점기준 ❶(40%)입니다. 그다음 f′(x)를 구하면?
힌트 2 — 판별식 세우기
f′(x)=3x²−2ax−a 입니다. x의 계수가 짝수(−2a)이므로 D/4를 쓰면 계산이 훨씬 깔끔합니다.
D/4 = (−a)² − 3·(−a) = a²+3a. 이제 a²+3a>0을 인수분해해서 부호를 판정하세요.
D/4 = (−a)² − 3·(−a) = a²+3a. 이제 a²+3a>0을 인수분해해서 부호를 판정하세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
a(a+3)>0 ⟹ a<−3 또는 a>0. 문제의 틀 “a<α 또는 a>β”와 자리를 하나씩 맞춰 보세요.
α와 β를 따로 적은 다음, 구하는 것이 α+β가 아니라 α−β라는 점을 확인하고 계산하세요.
α와 β를 따로 적은 다음, 구하는 것이 α+β가 아니라 α−β라는 점을 확인하고 계산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설·채점기준 펼치기
정답 α−β = −3
풀이영상
답만 확인하는 길 — 두 근의 합
a<α 또는 a>β 라는 범위의 경계 α, β는 곧 a²+3a=0의 두 근입니다. 두 근은 −3과 0이고, 작은 쪽이 α, 큰 쪽이 β이므로 α=−3, β=0.
따라서 α−β=−3. 다만 서술형 답안에는 D>0을 세우는 과정을 반드시 남겨야 합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
근거 문장 없이 판별식부터 쓴다
“f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다”가 채점기준 ❶(40%)입니다. 계산이 다 맞아도 이 줄이 없으면 절반 가까이 날아갑니다. -
f′(x)를 3x²−2ax+a로 적는다
원식의 −ax를 미분하면 −a입니다. 부호를 그대로 끌고 오세요. 부호가 바뀌면 D/4=a²−3a가 되어 범위가 통째로 달라집니다. -
D/4를 쓰면서 4로 나누는 것을 빠뜨린다
D=4a²+12a, D/4=a²+3a입니다. 둘 중 하나로 끝까지 통일하세요. 섞어 쓰면 부등식이 어긋납니다. -
α와 β를 뒤바꿔 넣는다
문제의 틀은 a<α, a>β입니다. 작은 경계가 α(=−3), 큰 경계가 β(=0)입니다. 뒤집으면 답이 +3이 됩니다. -
a<−3 또는 a>0을 −3<a<0으로 적는다
a(a+3)>0은 두 근의 바깥쪽입니다. 수직선을 그리고 0과 −3을 찍은 뒤 부호를 직접 표시하는 습관을 들이세요. -
α−β 대신 α, β 값만 적고 끝낸다
채점기준 ❸(20%)이 바로 α−β 계산입니다. 마지막 한 줄 “α−β=−3″을 반드시 쓰세요.
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