쎈미적분1 0578 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 12

0578
대표 문제
삼차함수가 극값을 가질 조건
풀이영상 있음

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함수 f(x)=⅓x³−½ax²+ax 가 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 자연수 a의 최솟값은?

문제를 읽자마자

출제의도

“극값을 모두 갖는다”를 D>0 한 줄로 갈아끼우는 문제

삼차함수의 극대·극소를 실제로 구해보라는 문제가 아닙니다. f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다는 것, 즉 판별식 조건으로 번역하는 것이 전부입니다. 뒤에 붙은 “자연수”라는 단어가 실제 정답을 결정하는 두 번째 장치입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건을 번역하기

극댓값·극솟값을 직접 계산하려 하고 있다면 멈추세요. 삼차함수가 극댓값과 극솟값을 모두 가진다는 것은 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 갖는다와 같은 말입니다.
먼저 f′(x)를 구해 보세요. 어떤 이차식이 나오나요?

힌트 2 — 판별식

f′(x)=x²−ax+a 입니다. 최고차항 계수가 1인 깔끔한 이차식이므로 D=a²−4a>0을 그대로 쓰면 됩니다.
a²−4a를 인수분해하면? 부호 판정은 두 근 0과 4를 기준으로 나눠 보세요.

힌트 3 — 마지막 한 걸음

a<0 또는 a>4 라는 범위가 나왔나요? 그런데 문제가 묻는 것은 실수 a가 아니라 자연수 a입니다.
a<0 구간은 자연수가 아예 없으므로 버립니다. 남은 a>4에서, 등호가 없다는 점에 주의해서 가장 작은 자연수를 고르세요.

다 풀고 나서

정답·해설 펼치기

정답 ② a의 최솟값 = 5

쎈 미적분1 0578번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 계수부터 보기

f′(x)=x²−ax+a는 두 근의 합이 a, 곱이 a인 이차식입니다. 판별식을 쓰지 않고 (합)²−4(곱)>0 으로 바로 a²−4a>0을 세울 수 있습니다.
여기서 a(a−4)>0 ⟹ a<0 또는 a>4. 자연수는 5부터이므로 최솟값 5.

덮기 직전에

D≥0으로 쓴다
중근이면 f′(x)의 부호가 바뀌지 않아 극값이 생기지 않습니다. 극값 2개를 요구하면 등호는 절대 들어갈 수 없습니다. D>0.
a<0 구간을 버리지 않고 답을 찾는다
부호 판정 결과는 두 구간입니다. 그중 문제가 요구한 “자연수”가 존재하는 구간은 a>4 하나뿐입니다. 구간을 먼저 걸러낸 뒤 값을 읽으세요.
a>4에서 답을 4로 적는다
등호가 없으므로 4는 포함되지 않습니다. a=4를 넣으면 f′(x)=x²−4x+4=(x−2)²로 중근, 극값이 없습니다. 경계값은 늘 대입해서 확인하세요.
0을 자연수로 센다
고교 교육과정에서 자연수는 1부터입니다. “정수 a”였다면 답이 완전히 달라집니다. 자연수·정수·실수 중 무엇을 물었는지 문제에 표시해 두세요.
a(a−4)>0의 부호를 반대로 읽는다
위로 볼록한 이차식이 0보다 큰 곳은 두 근의 “바깥쪽”입니다. 0<a<4로 적었다면 안쪽·바깥쪽을 뒤집은 경우입니다.

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