쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형11 도함수의 그래프의 해석(2)
0577
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사차함수의 개형과 x축 교점
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문제를 읽자마자
출제의도
f′은 모양을 정하고, 부등식은 높이를 정한다
이 문제는 두 정보를 겹쳐 쓰는 문제입니다. y=f′(x)의 그래프에서 극소·극대·극소의 순서(모양)를 얻고, f(−2)<0<f(3)<f(1)에서 각 극값이 x축 위인지 아래인지(높이)를 얻습니다. 스케치 한 장을 정확히 그리면 ㄱ·ㄴ·ㄷ은 계산 없이 읽힙니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 모양부터
f′(x)=0인 x는 −2, 1, 3이고 세 점 모두에서 f′이 x축을 뚫고 지나갑니다. 부호는 −, +, −, + 입니다.
따라서 x=−2에서 극소, x=1에서 극대, x=3에서 극소. 사차함수의 양 끝은 어느 방향으로 뻗나요?
따라서 x=−2에서 극소, x=1에서 극대, x=3에서 극소. 사차함수의 양 끝은 어느 방향으로 뻗나요?
힌트 2 — 높이 배치하기
f(−2)<0이므로 왼쪽 골짜기는 x축 아래, 0<f(3)<f(1)이므로 오른쪽 골짜기와 봉우리는 둘 다 x축 위입니다.
이 조건대로 그려 보세요. 왼쪽 아래로 깊게 파인 골짜기 하나, 그 뒤로는 전부 x축 위에서 오르내리는 그림이 나옵니다.
이 조건대로 그려 보세요. 왼쪽 아래로 깊게 파인 골짜기 하나, 그 뒤로는 전부 x축 위에서 오르내리는 그림이 나옵니다.
힌트 3 — 보기 판정
ㄱ은 f(2)를 구하는 문제가 아닙니다. 구간 (1, 3)에서 f는 감소하고 f(3)>0이므로 f(2)는 f(3)보다 큽니다.
ㄷ은 x축과 만나는 횟수 세기입니다. 그래프가 x축 아래로 내려간 구간이 몇 군데인지 보면, 들어갈 때 한 번 나올 때 한 번으로 교점 수가 정해집니다.
ㄷ은 x축과 만나는 횟수 세기입니다. 그래프가 x축 아래로 내려간 구간이 몇 군데인지 보면, 들어갈 때 한 번 나올 때 한 번으로 교점 수가 정해집니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② ㄱ, ㄴ
풀이영상
더 빠른 길 — ㄷ은 부호만 세면 끝
사차함수는 양 끝에서 위로 뻗고(f′>0이 x>3에서 성립), 세 극값의 부호는 순서대로 −, +, +입니다.
부호가 바뀌는 자리마다 교점이 하나씩 생기므로 −→+ 한 번, 그리고 왼쪽 끝 +→− 한 번, 합쳐서 교점 2개입니다. 오른쪽 골짜기 f(3)이 x축 위에 있으니 그쪽에서는 더 만나지 않습니다. 개형을 정밀하게 그리지 않고도 ㄷ이 거짓임을 알 수 있습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
ㄷ에서 “네 점”이라고 답한다
극값이 세 개라고 교점이 네 개인 것은 아닙니다. x축 아래로 내려간 구간은 왼쪽 하나뿐이므로 교점은 2개입니다. ⑤(ㄱ,ㄴ,ㄷ)를 고르게 만드는 대표 함정입니다. -
f(2)의 값을 구하려 한다
f의 식은 주어지지 않았습니다. (1, 3)에서 감소한다는 사실과 f(3)>0만으로 f(2)>f(3)>0이 나옵니다. -
ㄴ을 거짓으로 판정한다
x=−2 좌우에서 f′의 부호가 −에서 +로 바뀝니다. 값이 가장 작다는 뜻이 아니라 방향이 바뀐다는 뜻이므로, x=−2는 분명히 극소입니다. -
f(1)>f(3)>0을 무시하고 그린다
오른쪽 골짜기를 x축 아래로 내려 그리면 교점이 네 개로 보입니다. 주어진 부등식은 세 극값의 높이를 지정하는 조건이니 그림에 반드시 반영하세요. -
사차함수의 양 끝 방향을 확인하지 않는다
x>3에서 f′>0이므로 최고차항의 계수가 양수, 양 끝은 위로 향합니다. 아래로 향하는 개형을 그리면 교점 수와 증감이 전부 어긋납니다.
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