쎈미적분1 0576

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형11 도함수의 그래프의 해석(2)

0576
난이도 중
f′의 부호와 개형
풀이영상 있음

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문제를 읽자마자

출제의도

f′(x)=0인 점은 셋, 극값은 둘 — 가짜 하나를 골라내라

y=f′(x)의 그래프가 x축과 만나는 x좌표는 −1, 1, 3입니다. 앞 문제(0575)가 가짜 하나를 왼쪽에 숨겼다면, 이번에는 가운데에 숨겼습니다. x=1의 좌우에서 f′은 둘 다 x축 위이므로 여기서는 방향이 바뀌지 않습니다. 봉우리 하나, 골짜기 하나뿐인 개형을 찾는 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 세 점 표시하기
f′(x)=0이 되는 x는 −1, 1, 3 세 개입니다. 여기까지는 누구나 같습니다.
이제 각 점의 좌우에서 그래프가 x축 위인지 아래인지만 적어 보세요. 곡선이 두 번 봉우리를 만드는 모양에 속지 마세요.
힌트 2 — 부호표 채우기
x<−1은 아래(−), −1<x<1은 위(+), 1<x<3도 위(+), x>3은 아래(−)입니다.
즉 −, 0, +, 0, +, 0, −. 부호가 바뀐 곳은 x=−1과 x=3 두 군데뿐입니다. 각각 극소·극대 중 무엇인가요?
힌트 3 — 개형 확정
x=−1에서 극소, x=3에서 극대이고 x=1에서는 접선만 수평해집니다. 그러면 그래프는 “내려오다 −1에서 골짜기 → 1을 지나며 잠깐 평평 → 계속 올라가 3에서 봉우리 → 다시 내려감” 한 가지 모양뿐입니다.
골짜기와 봉우리가 셋 이상인 선지, x=3 이후에 올라가는 선지는 전부 제외하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④

쎈 미적분1 0576번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 닿으면 통과, 뚫으면 반전

그림에서 f′은 x=−1과 x=3에서는 x축을 뚫고 지나가고, x=1에서는 x축에 닿기만 합니다. 즉 f′(x)=−a(x+1)(x−1)²(x−3), a>0 꼴입니다.
중근인 x=1은 극값 후보에서 즉시 탈락, 단근인 −1·3만 극값입니다. 그리고 x>3에서 f′<0이므로 오른쪽 끝은 반드시 내려갑니다. 표를 다 쓰지 않아도 선지가 하나로 좁혀집니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • x=1에서도 극값이 있다고 본다
    x=1의 좌우 모두 f′>0입니다. 계속 증가하는 중에 기울기만 0이 되는 지점이므로 극값이 아닙니다. 극값 세 개짜리 선지는 이 착각을 노린 함정입니다.
  • f′의 봉우리를 f의 극대로 읽는다
    f′의 그래프에 봉우리가 두 개 있지만, 그것은 f′이 커졌다 작아진다는 뜻일 뿐입니다. f의 극값은 f′이 x축을 가로지르는 곳에서만 생깁니다.
  • x>3에서 증가하는 개형을 고른다
    x>3에서 f′<0이므로 f는 감소합니다. 오른쪽 끝이 위로 뻗는 그래프는 이 조건에서 이미 틀렸습니다.
  • 극소·극대의 순서를 바꿔 놓는다
    왼쪽(x=−1)이 골짜기, 오른쪽(x=3)이 봉우리입니다. 좌우가 뒤바뀐 선지를 고르지 않도록 부호표의 순서를 그대로 따라 그리세요.
  • f′의 증가·감소를 f의 증가·감소로 옮겨 적는다
    f의 증감을 결정하는 것은 f′의 값의 크기가 아니라 부호입니다. f′이 작아지는 중이라도 f′>0이면 f는 여전히 증가합니다.


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