쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0570
난이도 중
서술형
f′의 그래프와 미정계수
풀이영상 있음
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서술형
f′의 그래프와 미정계수
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먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
미지수 4개를 조건 4개로 나눠 잡으라는 문제
a, b, c, d를 한꺼번에 구하려 하면 막힙니다. 그래프에서 f′(0)=0, f′(2)=0 두 개, 문제 문장에서 극솟값 −2, 극댓값 2 두 개. 조건이 정확히 네 개 나오고 미지수도 네 개입니다. 서술형이므로 이 네 조건을 어디서 가져왔는지 적는 것 자체가 배점의 대부분(80%)입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그래프에서 두 개, 문장에서 두 개
그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표 0, 2가 곧 f′(x)=0의 두 근입니다. f′(x)=3ax²+2bx+c에 x=0을 대입하면 c가 바로 결정됩니다.
x=2를 대입해 나오는 식도 함께 적어 두세요.
x=2를 대입해 나오는 식도 함께 적어 두세요.
힌트 2 — 극대·극소의 위치를 헷갈리지 말 것
그래프가 위로 볼록하므로 f′의 부호는 −, +, − 입니다. 따라서 x=0에서 극소, x=2에서 극대입니다(왼쪽 근이 극소).
극솟값이 −2 ⟹ f(0)=−2, 극댓값이 2 ⟹ f(2)=2. 여기서 d가 곧바로 나옵니다.
극솟값이 −2 ⟹ f(0)=−2, 극댓값이 2 ⟹ f(2)=2. 여기서 d가 곧바로 나옵니다.
힌트 3 — 연립하고, 마지막에 대입
남은 두 식 12a+4b=0과 8a+4b=4를 빼면 a가 나옵니다.
a, b, c, d를 모두 구했다고 끝이 아닙니다. f(x)를 완성해 놓고 x=−1을 대입하는 마지막 줄까지 써야 답입니다.
a, b, c, d를 모두 구했다고 끝이 아닙니다. f(x)를 완성해 놓고 x=−1을 대입하는 마지막 줄까지 써야 답입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 f(−1) = 2
풀이영상
더 빠른 길 — f′을 인수분해형으로 세우기
f′(x)=0의 근이 0, 2이므로 f′(x)=3a·x(x−2)로 놓을 수 있습니다. 전개하면 f′(x)=3ax²−6ax이니 2b=−6a → b=−3a, c=0이 한 줄에 정리됩니다.
또 f(0)=d=−2, f(2)−f(0)=8a+4b이므로 2−(−2)=8a+4b=4입니다. 여기에 b=−3a를 넣으면 −4a=4, 즉 a=−1. 따라서 f(x)=−x³+3x²−2, f(−1)=2. 미지수를 처음부터 하나로 줄여 두면 연립이 사라집니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
극대와 극소를 반대로 잡는다
위로 볼록한 f′의 그래프에서는 왼쪽 근이 극소, 오른쪽 근이 극대입니다. f(0)=2, f(2)=−2로 놓으면 a의 부호부터 어긋나 답이 통째로 달라집니다. 증감표를 먼저 쓰고 값을 배정하세요. -
f′(0)=0에서 c=0을 뽑지 않고 미지수 4개를 끌고 간다
x=0이 근이라는 정보는 계산 없이 c를 없애 줍니다. 그래프의 근에 0이 들어 있으면 가장 먼저 대입하는 것이 이득입니다. -
극값 조건을 f′에 대입한다
“극솟값이 −2″는 f′(0)=−2가 아니라 f(0)=−2입니다. f′에 대입하면 f′(0)=0과 모순이 생기니, 값이 나오면 f 쪽인지 f′ 쪽인지 한 번 더 확인하세요. -
증감표와 근거 없이 답만 적는다
서술형 채점 기준은 a, b, c, d를 구하는 과정에 80%, f(−1) 계산에 20%가 걸려 있습니다. “f′(0)=0, f′(2)=0이므로”, “극솟값이 −2이므로 f(0)=−2” 같은 근거 문장이 곧 점수입니다. -
a, b, c, d를 구하고 멈춘다
문제가 요구한 것은 f(−1)입니다. f(x)=−x³+3x²−2를 쓰고 x=−1을 대입해 1+3−2=2까지 적어야 완결됩니다. -
f(−1) 대입에서 부호를 흘린다
−(−1)³=+1입니다. 3차항의 음수 계수와 (−1)³의 음수가 겹쳐 −1로 쓰는 실수가 가장 많습니다. 답이 0이 나왔다면 이 지점입니다.