쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0569
난이도 중
f′의 그래프와 극값
풀이영상 있음
난이도 중
f′의 그래프와 극값
풀이영상 있음
먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
f′(x)의 그래프는 값이 아니라 부호를 읽으라고 준 것
주어진 그래프에서 확인할 정보는 딱 두 개입니다. x축과 만나는 x좌표(0, 4), 그리고 그 사이에서 f′이 양수라는 사실. 극값의 위치는 f′의 부호가 바뀌는 곳에서 결정되므로, 꼭짓점 x=2는 극값과 아무 관계가 없습니다. 보기 ㄴ은 그 착각을 겨냥해 넣은 문항입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그래프에서 읽을 것
그래프의 높이를 비교하려 하고 있다면 방향이 잘못됐습니다. 필요한 것은 f′(x)의 부호뿐입니다.
x<0, 0<x<4, x>4 세 구간에서 f′(x)가 양수인지 음수인지 종이에 −, +, − 로 적어 보세요.
x<0, 0<x<4, x>4 세 구간에서 f′(x)가 양수인지 음수인지 종이에 −, +, − 로 적어 보세요.
힌트 2 — 증감표 한 장
부호가 −에서 +로 바뀌는 x=0은 극소, +에서 −로 바뀌는 x=4는 극대입니다. 이 한 줄로 ㄴ의 참·거짓이 바로 결정됩니다.
그리고 문제가 f(0)=1을 준 이유를 생각해 보세요. 극솟값은 x값이 아니라 함숫값 f(0)입니다.
그리고 문제가 f(0)=1을 준 이유를 생각해 보세요. 극솟값은 x값이 아니라 함숫값 f(0)입니다.
힌트 3 — ㄷ은 크기 비교가 아니다
f′(2)와 f′(4)의 크기를 비교하려 하면 안 됩니다. 0<x<4에서 f′(x)>0이므로 f(x)는 이 구간에서 증가합니다.
증가하는 구간 안에서 2<4라면 f(2)와 f(4) 중 어느 쪽이 클까요?
증가하는 구간 안에서 2<4라면 f(2)와 f(4) 중 어느 쪽이 클까요?
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ㄱ, ㄷ
풀이영상
더 빠른 길 — 증감 개요도 한 장으로 세 개 동시 처리
x축 위에 0과 4를 찍고 f′의 부호를 −, +, − 로 쓰고, 그 아래에 f의 모양을 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 로 그립니다.
이 그림 하나에서 ㄱ(극소는 x=0 → 극솟값 f(0)=1), ㄴ(극대는 x=4, x=2 아님), ㄷ(0~4에서 증가 → f(2)<f(4))이 한 번에 읽힙니다. 보기가 세 개인 문제는 판정을 세 번 하지 말고 그림을 한 번 그리는 쪽이 빠릅니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
꼭짓점 x=2를 극대라고 답한다
x=2는 f′이 최대인 점, 즉 f의 기울기가 가장 큰 점입니다. f가 최대인 점이 아닙니다. 극값은 f′의 부호가 바뀌는 x에서만 생깁니다. -
x축과의 교점이면 무조건 극값이라고 본다
f′(x)=0이어도 부호가 바뀌지 않으면 극값이 아닙니다(그래프가 x축에 접하는 경우). “0이 되는 곳”이 아니라 “부호가 뒤집히는 곳”을 찾으세요. -
극솟값을 0이라고 쓴다
x=0은 극소가 되는 x의 값이고, 극솟값은 함숫값 f(0)입니다. 문제가 f(0)=1을 준 이유가 바로 이것이고, 그래서 ㄱ이 참입니다. -
ㄷ에서 f′의 값끼리 비교해 버린다
f′(2)>f′(4)라는 사실은 f(2)와 f(4)의 대소와 무관합니다. 판단 근거는 “0<x<4에서 f′>0 → 증가” 한 줄뿐입니다. -
참인 보기를 찾고 바로 답으로 넘어간다
ㄱ이 참임을 확인한 순간 ④를 고르기 쉽습니다. 보기형은 세 개 모두 판정한 뒤 조합을 고르세요. 여기서는 ㄱ, ㄷ이 참이라 답이 ⑤입니다.