쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0571
난이도 중
극댓값과 극솟값의 차
풀이영상 있음
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먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
그래프에 찍힌 −3을 조건으로 쓰고, d는 구하지 말라는 문제
x축과 만나는 −1, 3만 읽으면 조건이 두 개뿐이라 a, b, c가 정해지지 않습니다. y절편 −3, 즉 f′(0)=−3이 세 번째 조건입니다. 그리고 묻는 것은 극댓값과 극솟값의 차이므로 상수 d는 소거됩니다. f(x)를 완성할 수 없어도 답은 나옵니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 그래프에 표시된 숫자는 세 개다
−1, 3, 그리고 y축의 −3. 세 개를 모두 조건으로 바꿔야 합니다.
f(x)=ax³+bx²+cx+d로 놓고 f′(x)=3ax²+2bx+c를 쓴 다음, f′(−1)=0, f′(3)=0, f′(0)=−3을 각각 식으로 적어 보세요.
f(x)=ax³+bx²+cx+d로 놓고 f′(x)=3ax²+2bx+c를 쓴 다음, f′(−1)=0, f′(3)=0, f′(0)=−3을 각각 식으로 적어 보세요.
힌트 2 — 어느 쪽이 극대인가
그래프가 아래로 볼록하므로 f′의 부호는 +, −, + 입니다. 따라서 x=−1에서 극대, x=3에서 극소입니다.
구할 것은 f(−1)−f(3)의 절댓값입니다.
구할 것은 f(−1)−f(3)의 절댓값입니다.
힌트 3 — d가 없어도 된다
f(−1)=5/3+d, f(3)=−9+d 처럼 d가 남아 불안하다면 그대로 두세요. 차를 구하면 d끼리 지워집니다.
d를 결정할 조건은 애초에 문제에 없습니다. 없는 조건을 찾다가 시간을 버리지 마세요.
d를 결정할 조건은 애초에 문제에 없습니다. 없는 조건을 찾다가 시간을 버리지 마세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 32/3
풀이영상
더 빠른 길 — 연립하지 않고 a를 구하기
f′(x)=0의 근이 −1, 3이므로 f′(x)=3a(x+1)(x−3)로 바로 세웁니다. 여기에 x=0을 넣으면 f′(0)=3a·1·(−3)=−9a이고, 그래프에서 −9a=−3이므로 a=1/3.
그러면 f′(x)=(x+1)(x−3)=x²−2x−3, f(x)=⅓x³−x²−3x+d. 연립방정식을 세울 필요 없이 계수가 한 번에 정해집니다. 이후 f(−1)=5/3+d, f(3)=−9+d로 차는 32/3.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
y절편 −3을 그냥 지나친다
조건이 두 개뿐이면 a, b, c는 절대 결정되지 않습니다. 그래프에 숫자가 적혀 있으면 예외 없이 조건입니다. f′(0)=−3 → c=−3을 먼저 확보하세요. -
극대·극소를 반대로 배정한다
아래로 볼록한 f′의 그래프에서는 왼쪽 근(x=−1)이 극대, 오른쪽 근(x=3)이 극소입니다. 부호표 +, −, + 를 먼저 쓰면 헷갈릴 여지가 없습니다. -
d를 못 구해서 손을 뗀다
이 문제는 d를 결정할 수 없게 설계돼 있습니다. 묻는 것이 “차”이면 상수항은 소거되니, d를 문자로 남겨 둔 채 끝까지 계산하세요. -
a=1/3을 정수로 만들려 한다
3a−2b−3=0과 27a+6b−3=0을 연립하면 12a=4, a=1/3입니다. 분수 계수가 나오면 계산 실수라 의심하고 되돌아가는 학생이 많습니다. 여기서는 분수가 정답입니다. -
f(−1) 계산에서 부호를 흘린다
⅓(−1)³−(−1)²−3(−1)=−⅓−1+3=5/3 입니다. −3x 항에 −1을 넣으면 +3이라는 점을 놓치면 −1/3이 나옵니다. -
차를 음수로 적는다
차는 절댓값입니다. (5/3+d)−(−9+d)=32/3. 순서를 바꿔 −32/3이 나왔다면 큰 값에서 작은 값을 빼도록 다시 쓰세요.