쎈미적분1 0564 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형08

0564
난이도 중
삼차함수 계수의 부호 결정
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문제를 읽자마자

출제의도

앞 문제의 부호가 뒤집힌 판, 그리고 |β|>|α|가 결정적인 조건

0563과 같은 도구를 쓰지만 a<0이라 부등식을 나눌 때마다 방향이 뒤집힙니다. 게다가 두 근이 하나는 음수, 하나는 양수여서 합의 부호가 그림만으로는 정해지지 않습니다. 그 빈칸을 메우라고 준 것이 |β|>|α| 조건입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 최고차항부터

오른쪽 끝이 아래로 떨어지는 삼차함수이므로 a<0입니다.
상수항은 이미 −2로 주어져 있으니 d에 대해 따로 판정할 것은 없습니다. 그래프가 y축과 −2에서 만나는 것은 확인용일 뿐, 새로운 정보가 아닙니다.

힌트 2 — 두 근의 합과 곱

극값을 갖는 x좌표를 α, β라 하면 f′(x)=3ax²+2bx+c=0의 두 근이고, 그림에서 α<0<β입니다.
부호가 다르므로 αβ<0. 합은 절댓값이 큰 쪽이 이깁니다. |β|>|α|이므로 α+β>0. 이 한 줄을 쓰려고 문제가 조건을 준 것입니다.

힌트 3 — 마지막 한 걸음

−2b/(3a)>0, c/(3a)<0에 a<0을 대입하면서 부등호 방향에 주의하세요. 결과는 b>0, c>0입니다.
이제 a<0, b>0, c>0으로 다섯 선택지를 판정합니다. ⑤의 bc−a는 bc>0이고 −a도 양수라는 점을 함께 보세요.

다 풀고 나서

정답·해설 펼치기

정답 ⑤ bc − a > 0

쎈 미적분1 0564번 해설

풀이영상

선택지 한 줄 검산 — a<0, b>0, c>0

① a<0 ② ab: (−)(+)<0 ③ abc: (−)(+)(+)<0 ④ a−c: 음수−양수<0 ⑤ bc−a: (+)(+)에서 음수를 빼므로 >0 → 양수.
⑤는 두 항이 모두 양수로 더해지는 꼴입니다. −a가 양수라는 것만 놓치지 않으면 즉시 보입니다.

덮기 직전에

a<0으로 나누면서 부등호를 그대로 둔다
이 문제의 최대 함정입니다. 음수로 나누거나 곱할 때는 방향이 뒤집힙니다. a의 부호를 먼저 적어 두고 한 단계씩 정리하세요.
|β|>|α| 조건을 쓰지 않는다
α<0<β만으로는 α+β의 부호를 정할 수 없습니다. 이 조건이 곧 α+β>0이고, 그래서 b의 부호가 결정됩니다.
α, β를 극값이나 x절편으로 읽는다
그림의 α, β는 극값을 갖는 x좌표입니다. 그래프가 x축과 만나는 점이 아닙니다.
bc−a를 bc와 a의 크기 비교 문제로 만든다
−a는 a<0이므로 그 자체가 양수입니다. 양수+양수 구조이므로 크기를 비교할 필요가 없습니다.
0563의 결론(b<0)을 그대로 옮겨 쓴다
같은 유형이지만 a의 부호와 근의 부호가 다릅니다. 여기서는 b>0입니다. 유형을 외우지 말고 부호를 다시 계산하세요.

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