쎈미적분1 0563 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형08

0563
대표문제
삼차함수 계수의 부호 결정
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문제를 읽자마자

출제의도

그래프에서 a와 d는 눈으로, b와 c는 근과 계수의 관계로

계수 네 개의 부호를 한꺼번에 알아내는 유형입니다. 그림이 직접 알려 주는 것은 두 개뿐입니다. 끝이 올라가는 모양에서 a, y축과 만나는 위치에서 d. 남은 b, c는 극값의 x좌표 두 개가 f′(x)=0의 두 근이라는 사실로 넘어가서 합과 곱의 부호로 잡습니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 그림에서 공짜로 얻는 두 개

오른쪽 끝이 위로 치솟는 삼차함수는 a>0입니다.
그리고 x=0을 대입하면 f(0)=d이므로, 그래프가 y축과 만나는 지점의 위치가 곧 d의 부호입니다. 이 그림에서는 원점보다 아래쪽에서 만나므로 d<0.

힌트 2 — 극값을 방정식으로 바꾸기

극대·극소가 되는 x좌표를 α, β라 하면 이 둘은 f′(x)=3ax²+2bx+c=0의 두 실근입니다.
그림에서 α, β는 모두 원점 오른쪽에 있죠. 즉 두 근이 모두 양수이므로 α+β>0, αβ>0.

힌트 3 — 마지막 한 걸음

근과 계수의 관계로 α+β=−2b/(3a)>0, αβ=c/(3a)>0. 여기에 a>0을 대입하면 b<0, c>0이 나옵니다.
이제 a>0, b<0, c>0, d<0을 선택지 다섯 개에 하나씩 넣어 부호를 확인하세요. 하나만 참입니다.

다 풀고 나서

정답·해설 펼치기

정답 ⑤ bd > 0

쎈 미적분1 0563번 해설

풀이영상

선택지 한 줄 검산 — a>0, b<0, c>0, d<0

① ab: (+)(−)<0 ② ac: (+)(+)>0이므로 ac<0은 거짓 ③ ad: (+)(−)<0 ④ bc: (−)(+)<0 ⑤ bd: (−)(−)>0 → 참.
네 계수의 부호를 표로 적어 놓고 다섯 개를 전부 판정하는 것이 가장 빠르고 안전합니다.

덮기 직전에

α, β를 극값(y값)으로 착각한다
근과 계수의 관계에 넣는 α, β는 극값이 아니라 극값을 갖는 x좌표입니다. 그래프에서 가로축 위치를 읽으세요.
f′(x)의 계수를 f(x)의 계수로 쓴다
f′(x)=3ax²+2bx+c입니다. 합은 −2b/(3a), 곱은 c/(3a). 3과 2를 빠뜨리면 부호는 우연히 맞아도 습관이 남습니다.
a의 부호를 확인하기 전에 부등호를 정리한다
−2b/(3a)>0에서 b의 부호는 a의 부호에 따라 뒤집힙니다. 반드시 a>0을 먼저 확정하고 나눈 뒤에 결론을 내리세요.
d의 부호를 극솟값으로 판단한다
d=f(0), 즉 y절편입니다. 극솟값이 음수인 것과는 별개입니다. 그래프가 y축을 지나는 지점만 보세요.
답을 하나 찾자마자 나머지를 넘긴다
부호를 잘못 읽어도 우연히 하나가 맞아 보일 수 있습니다. 다섯 선택지를 모두 판정해 참이 정확히 하나인지 확인하는 것이 검산입니다.

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