쎈미적분1 0561

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용

0561
난이도 중
서술형
곱의 미분법 · 접선의 방정식
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쎈 미적분1 0561번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

“극댓값 5” 한 마디에서 조건 두 개를 꺼내 쓰라는 문제

f(x)의 식은 끝까지 주어지지 않습니다. 주어진 것은 x=−1에서 극댓값 5라는 문장뿐이고, 여기서 f(−1)=5와 f′(−1)=0 두 값이 나옵니다. 이 두 개면 g(−1)과 g′(−1)이 모두 계산되고, 접선이 나오면 나머지는 절편 두 개로 만드는 직각삼각형 넓이입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
f(x)를 구하려 하고 있다면 멈추세요. 이 문제는 f(x)를 특정할 수 없게 만들어 놓았습니다.
미분가능한 함수가 x=−1에서 극대라는 말은 f(−1)=5와 f′(−1)=0, 두 줄로 번역됩니다. 필요한 정보는 이게 전부입니다.
힌트 2 — 접점과 기울기
접선을 쓰려면 점 하나와 기울기 하나가 필요합니다.
점: g(−1)=(3·(−1)+1)f(−1)이므로 y좌표는 5가 아닙니다. 다시 계산해 보세요.
기울기: g′(x)=3f(x)+(3x+1)f′(x)로 곱의 미분법을 쓰면, x=−1을 넣는 순간 f′(−1)=0 때문에 뒤쪽 항이 통째로 사라집니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
접선이 y=15x+5로 정리되었나요? 이 직선과 x축, y축이 만드는 도형은 직각삼각형입니다.
x절편과 y절편을 각각 구한 뒤, 넓이는 (1/2)×|x절편|×|y절편|. x절편이 음수라는 점에 주의하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 5/6

쎈 미적분1 0561번 해설

풀이영상

서술형 채점 포인트 — 세 단계로 끊어 쓰기

① f(−1)=5, f′(−1)=0을 밝힌다 (30%) ② 접선의 방정식 y=15x+5를 구한다 (50%) ③ 도형의 넓이를 구한다 (20%).
답만 5/6이라고 적으면 절반도 받지 못합니다. 특히 ①은 “미분가능한 함수가 x=−1에서 극값을 가지므로 f′(−1)=0″이라는 근거 문장까지 써야 온점입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 접점의 y좌표를 5로 잡는다
    5는 f(−1)이지 g(−1)이 아닙니다. g(−1)=(−2)×5=−10. 곡선은 y=g(x)라는 것을 다시 확인하세요.
  • f′(−1)=0을 쓰지 않고 미지수로 남긴다
    극값 조건의 절반이 f′(−1)=0입니다. 이걸 쓰지 않으면 g′(−1)에 미지수가 남아 접선이 나오지 않습니다.
  • g′(x)에서 곱의 미분법을 반쪽만 쓴다
    g′(x)=3f(x)+(3x+1)f′(x). (3x+1)의 미분이 3이라는 앞 항을 빠뜨리면 기울기가 0이 되어 버립니다.
  • x절편이 음수인 것을 그대로 넓이에 넣는다
    x절편은 −1/3이지만 밑변의 길이는 1/3입니다. 길이에는 절댓값을 씌우세요.
  • “둘러싸인 도형”을 그려 보지 않는다
    직선 하나와 두 축이 만드는 도형은 삼각형입니다. 간단히 스케치하면 밑변·높이를 헷갈릴 일이 없습니다.


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