쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0565
난이도 중
서술형
삼차함수의 극값과 계수의 부호
풀이영상 있음
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삼차함수의 극값과 계수의 부호
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먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
a, b, c의 값이 아니라 부호만 묻는 문제 — 그래프를 부호 정보로 번역하라
|a|/a는 a가 양수면 1, 음수면 −1입니다. 즉 세 계수의 크기는 전혀 필요 없고 부호만 알면 끝납니다. c는 y절편에서 바로 읽히고, a와 b는 f′(x)=0의 두 근이 모두 음수라는 그림의 정보를 근과 계수의 관계로 옮기면 나옵니다. 서술형이므로 배점도 이 순서를 그대로 따릅니다(c의 부호 20% / a·b의 부호 50% / 최종값 30%).
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 가장 쉬운 c부터
세 개를 한꺼번에 보려 하지 말고, 그래프에서 바로 읽히는 것 하나를 먼저 잡으세요.
f(0)=c입니다. 즉 c는 y절편이고, 그래프가 y축과 만나는 점이 원점보다 위인지 아래인지만 확인하면 됩니다.
f(0)=c입니다. 즉 c는 y절편이고, 그래프가 y축과 만나는 점이 원점보다 위인지 아래인지만 확인하면 됩니다.
힌트 2 — a, b는 도함수로 넘긴다
a와 b는 f(x)의 그래프에서 직접 보이지 않습니다. 대신 그래프에 극소점과 극대점이 있고, 두 점의 x좌표가 모두 원점의 왼쪽이라는 사실이 보입니다.
f′(x)=−3x²+2ax+b로 두면, 이 두 x좌표는 곧 f′(x)=0의 서로 다른 두 실근 α, β이고 α<0, β<0입니다.
f′(x)=−3x²+2ax+b로 두면, 이 두 x좌표는 곧 f′(x)=0의 서로 다른 두 실근 α, β이고 α<0, β<0입니다.
힌트 3 — 두 근이 음수라는 말을 식으로
“두 근이 모두 음수”는 합<0 이고 곱>0과 같은 말입니다. 근과 계수의 관계로 옮기면
α+β = 2a/3 < 0, αβ = −b/3 > 0.
최고차항 계수가 −3이라는 점에 주의해서 부호를 정리하면 a와 b의 부호가 각각 나옵니다.
α+β = 2a/3 < 0, αβ = −b/3 > 0.
최고차항 계수가 −3이라는 점에 주의해서 부호를 정리하면 a와 b의 부호가 각각 나옵니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 −1
풀이영상
다른 접근 — 근과 계수의 관계 없이
f′(x)=−3x²+2ax+b는 위로 볼록한 포물선이고, 축은 x=a/3입니다. 축은 두 근 α, β 사이에 있으므로 축이 음수 ⟹ a<0.
또 x=0은 두 근보다 오른쪽이라 그 구간에서 f는 감소, 즉 f′(0)<0인데 f′(0)=b이므로 b<0. 근과 계수의 관계를 쓰지 않고 축의 위치와 f′(0) 한 값만으로 끝납니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
c를 x절편으로 착각한다
c는 f(0), 즉 y절편입니다. 그림에서 곡선이 x축을 지나는 점들과는 아무 상관이 없습니다. “상수항 = y절편”을 반사적으로 떠올리세요. -
“두 근이 음수”를 곱>0만으로 처리한다
αβ>0은 두 근의 부호가 같다는 뜻일 뿐이라 둘 다 양수인 경우가 남습니다. α+β<0을 반드시 함께 써야 음수로 확정됩니다. 서술형에서 50% 배점이 걸린 부분입니다. -
최고차항이 −3인 것을 잊고 부호를 뒤집는다
f′(x)=−3x²+2ax+b에서 근의 합은 2a/3, 근의 곱은 −b/3입니다. −3으로 나누는 순간 b의 부호가 뒤집힙니다. 여기서 b>0으로 잘못 잡으면 답이 1이 됩니다. -
a, b, c의 값을 구하려고 시간을 쓴다
|a|/a 꼴은 크기 정보를 전부 지웁니다. 값은 구할 수도 없고 구할 필요도 없습니다. 부호 세 개만 확정하면 −1−1+1로 계산이 끝납니다. -
서술형인데 결론만 적는다
“c>0”, “a<0, b<0″만 나열하면 근거 배점이 날아갑니다. ① 그래프가 y축의 양의 부분에서 만나므로, ② f′(x)=0의 두 실근이 서로 다른 두 음수이므로 — 이 두 근거 문장을 반드시 적으세요.