쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0560
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극대·극소와 정수 개수
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문제를 읽자마자
출제의도
“두 근 사이에 있다”를 f′(a)<0 한 줄로 바꾸라는 문제
극대가 되는 점과 극소가 되는 점의 x좌표는 f′(x)=3x²+2ax−125의 두 근입니다. 직선 x=a가 그 사이를 지난다는 것은 a가 두 근 사이의 값이라는 뜻. 아래로 볼록한 이차함수는 두 근 사이에서만 음수이므로 f′(a)<0 하나로 끝납니다. 근을 구할 필요가 전혀 없습니다. 함정은 계수로 쓰인 a와 대입하는 값 a가 같은 문자라는 점입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 두 점의 정체
극대가 되는 점, 극소가 되는 점의 x좌표를 α, β(α<β)라 두세요. 이 두 수는 f′(x)=3x²+2ax−125=0의 두 근입니다.
문제의 조건을 α, β와 a의 부등식 한 줄로 써 보세요.
문제의 조건을 α, β와 a의 부등식 한 줄로 써 보세요.
힌트 2 — 근을 구하지 않는 법
조건은 α<a<β입니다. 근의 공식으로 α, β를 구하려 하면 식이 지저분해집니다.
y=f′(x)는 아래로 볼록한 포물선이므로 두 근 사이에서만 y값이 음수입니다. 즉 α<a<β ⟺ f′(a)<0.
y=f′(x)는 아래로 볼록한 포물선이므로 두 근 사이에서만 y값이 음수입니다. 즉 α<a<β ⟺ f′(a)<0.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(x)의 x자리에 a를 넣으면 f′(a)=3a²+2a·a−125=5a²−125. 여기서 5a²−125<0.
a²<25이므로 −5<a<5. 양 끝 −5와 5가 포함되지 않는다는 점을 확인한 뒤 정수를 세세요.
a²<25이므로 −5<a<5. 양 끝 −5와 5가 포함되지 않는다는 점을 확인한 뒤 정수를 세세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ 9개
풀이영상
짚고 갈 한 가지 — 극대·극소는 항상 존재한다
보통 이런 유형은 “극대·극소를 가지려면 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근”이라는 조건을 따로 확인해야 합니다. 그런데 이 문제의 f′(x)=3x²+2ax−125는 상수항이 −125로 음수, 즉 D/4=a²+375>0이므로 a가 어떤 값이어도 두 실근이 존재합니다.
그래서 별도의 판별식 조건이 붙지 않고 f′(a)<0만으로 답이 결정됩니다. 상수항의 부호를 먼저 보는 습관이 검산 시간을 줄여 줍니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
2ax에 a를 대입할 때 2a로 쓴다
f′(a)에서 2ax의 x자리에도 a가 들어가므로 2a·a=2a²입니다. 3a²+2a²=5a². 2a로 쓰면 3a²+2a−125<0이 되어 답이 완전히 달라집니다. -
계수 a와 대입값 a를 다른 문자로 분리하지 않는다
같은 문자라 헷갈리면 f′(x)=3x²+2ax−125를 써 놓고 x 위에 동그라미를 친 뒤 그 자리에만 a를 넣으세요. 한 줄로 f′(a)=5a²−125가 나옵니다. -
부등호에 등호를 넣는다
극대점과 극소점 “사이”이므로 등호는 없습니다. −5≤a≤5로 풀면 정수 11개가 되어 ⑤를 고르게 됩니다. a=±5이면 x=a가 극점을 지나므로 사이가 아닙니다. -
정수를 세면서 0을 빠뜨린다
−4부터 4까지는 음수 4개, 0, 양수 4개로 9개입니다. 음수와 양수만 세어 8개로 답하면 ②로 빠집니다. 개수 문제는 반드시 0을 확인하세요. -
근의 공식으로 α, β를 직접 구한다
α, β에 무리식이 들어가 α<a<β를 정리하기가 훨씬 어려워집니다. “두 근 사이 ⟹ f′(대입값)<0″은 이차함수 전 범위에서 쓰는 표준 도구입니다.
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