쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0559
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x축에 접할 조건
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출제의도
“x축에 접한다”를 극값이 0이다로 번역하라는 문제
삼차함수의 그래프가 x축에 접하는 점은 그 점에서 f(x)=0이면서 f′(x)=0인 점, 즉 x축 위에 놓인 극대점 또는 극소점입니다. 그래서 할 일은 두 개뿐입니다. f′(x)=0의 근 두 개를 찾고, 그 두 곳의 함숫값 중 어느 쪽이 0이 될 수 있는지 가려내는 것. 단서 a≠0이 붙은 이유가 바로 이 가려내기에 있습니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 조건을 번역하기
“x축에 접한다”는 “x축과 만난다”가 아닙니다. 접점 x=t에서는 f(t)=0이면서 f′(t)=0이어야 합니다.
그러면 t는 f′(x)=0의 근 중 하나일 수밖에 없습니다. 먼저 f′(x)를 인수분해하세요.
그러면 t는 f′(x)=0의 근 중 하나일 수밖에 없습니다. 먼저 f′(x)를 인수분해하세요.
힌트 2 — 후보를 걸러내기
f′(x)=−2x²+2ax=−2x(x−a)이므로 x=0 또는 x=a에서 극값을 갖습니다. 따라서 f(0)=0 또는 f(a)=0.
f(0)을 a로 계산해 보세요. f(x)에 상수항이 −a뿐이라는 점을 보면 바로 나옵니다. 여기서 a≠0이라는 단서가 두 후보 중 하나를 지웁니다.
f(0)을 a로 계산해 보세요. f(x)에 상수항이 −a뿐이라는 점을 보면 바로 나옵니다. 여기서 a≠0이라는 단서가 두 후보 중 하나를 지웁니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(0)=−a≠0이므로 남는 조건은 f(a)=0 하나입니다.
f(a)=−(2/3)a³+a·a²−a에서 −2/3+1=1/3이므로 (1/3)a³−a=0. a로 묶고 a≠0을 걸러내면 답이 두 개 나옵니다. 문제는 “모든 실수 a”를 요구했습니다.
f(a)=−(2/3)a³+a·a²−a에서 −2/3+1=1/3이므로 (1/3)a³−a=0. a로 묶고 a≠0을 걸러내면 답이 두 개 나옵니다. 문제는 “모든 실수 a”를 요구했습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = −√3 또는 a = √3
풀이영상
다른 길 — 중근 꼴로 놓고 계수 비교
x축에 접하면 f(x)=0이 중근을 가집니다. 접점을 t라 하면 f(x)=−(2/3)(x−t)²(x−k) 꼴.
전개해서 계수를 비교하면 x항이 없다는 조건에서 t(t+2k)=0이므로 k=−t/2 (t=0이면 상수항이 0이 되어 a=0, 제외). 이때 x²의 계수에서 a=t, 상수항에서 −a=−t³/3, 즉 a=t³/3.
두 식을 합치면 t=t³/3, 곧 t³=3t ∴ t=±√3이고 a=t=±√3. 극값을 쓰지 않고도 같은 답에 도달합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
“접한다”를 “만난다”로 읽는다
삼차함수는 어떤 a에서도 x축과 반드시 만납니다. 만나는 조건이라면 문제가 성립하지 않습니다. 접한다 = 중근 = 극값이 0. 이 번역이 첫 줄이어야 합니다. -
f(0)=0인 경우를 그대로 답에 넣는다
f(0)=−a이므로 f(0)=0은 a=0을 뜻합니다. 단서에서 a≠0을 제외했으니 이 경우는 버립니다. 단서를 흘려 읽으면 a=0을 답에 포함시키게 됩니다. -
a>0인 그림만 그리고 끝낸다
a<0이면 x=a가 원점 왼쪽으로 가서 극대와 극소의 위치가 서로 바뀝니다. 하지만 “극값이 0″이라는 조건 자체는 그대로이므로 계산 결과도 그대로. 답은 두 개입니다. -
f(a) 정리에서 계수를 흘린다
f(a)=−(2/3)a³+a·a²−a에서 앞의 두 항이 (−2/3+1)a³=(1/3)a³으로 합쳐집니다. 여기서 부호나 분수를 놓치면 a²=3이 아닌 엉뚱한 값이 나옵니다. -
답을 하나만 적는다
“모든 실수 a의 값을 구하시오”입니다. a(a+√3)(a−√3)=0에서 a≠0을 뺀 나머지 두 값을 모두 적어야 완답입니다.
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