쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0558
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극대·극소와 미정계수
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출제의도
극댓값·극솟값을 구하지 말고, 두 점의 x좌표 합이 0이라는 조건만 쓰라는 문제
극대가 되는 점과 극소가 되는 점의 x좌표는 f′(x)=0의 두 근입니다. 원점에 대하여 대칭이면 두 x좌표의 합이 0이고, 그 합은 근과 계수의 관계로 계수만 보고 바로 씁니다. 3차식을 실제로 미분해서 극값을 계산하는 문제가 아니라, “대칭 → 근의 합”으로 번역하는 문제입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
극댓값과 극솟값을 각각 구해서 더하려 하고 있다면 멈추세요. f′(x)=3x²+2(a+1)x−2를 써 놓고 이렇게 물으세요.
극대가 되는 점의 x좌표, 극소가 되는 점의 x좌표는 무엇의 두 근인가?
극대가 되는 점의 x좌표, 극소가 되는 점의 x좌표는 무엇의 두 근인가?
힌트 2 — 조건을 식으로
두 x좌표를 α, β라 하면 α, β는 3x²+2(a+1)x−2=0의 두 근입니다. 두 점이 원점에 대하여 대칭이면 α와 β는 부호만 반대, 즉 α=−β이므로 α+β=0.
근과 계수의 관계로 α+β를 a로 나타내 보세요.
근과 계수의 관계로 α+β를 a로 나타내 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
α+β=−2(a+1)/3이므로 이 값이 0. 여기서 a가 나옵니다.
구한 a를 f(x)에 다시 넣어 y좌표도 부호만 반대인지 한 번 확인하세요. 원점 대칭은 x좌표뿐 아니라 y좌표까지의 조건입니다.
구한 a를 f(x)에 다시 넣어 y좌표도 부호만 반대인지 한 번 확인하세요. 원점 대칭은 x좌표뿐 아니라 y좌표까지의 조건입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ② a = −1
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더 빠른 길 — 변곡점을 원점으로
삼차함수의 그래프는 변곡점에 대하여 점대칭이고, 극대가 되는 점과 극소가 되는 점도 변곡점을 중심으로 대칭입니다. 두 점이 원점에 대하여 대칭이라면 변곡점이 곧 원점이라는 뜻.
f″(x)=6x+2(a+1)=0에서 x=−(a+1)/3=0 ∴ a=−1. 근과 계수의 관계를 쓰지 않고 한 줄로 끝납니다. 이때 f(x)=x³−2x는 기함수이므로 y좌표 대칭도 자동으로 성립합니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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극댓값·극솟값을 직접 계산하려 든다
α, β가 무리수로 나와 계산이 터집니다. 이 문제가 요구하는 것은 값이 아니라 두 근의 합. 근을 구하지 않고 계수만 보는 것이 정석입니다. -
근과 계수의 관계에서 부호를 놓친다
3x²+2(a+1)x−2=0에서 두 근의 합은 −2(a+1)/3입니다. 앞의 마이너스를 빼먹으면 a=−1이 아니라 a=1이 나와 ④를 고르게 됩니다. -
x좌표만 확인하고 끝낸다
원점 대칭은 (α, f(α))의 대응점이 (−α, −f(α))라는 조건입니다. α+β=0은 절반일 뿐. a=−1일 때 f(x)=x³−2x가 기함수라는 한 줄을 서술형에서는 반드시 적어야 합니다. -
극대·극소가 실제로 존재하는지 확인하지 않는다
극대와 극소가 있으려면 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다. a=−1이면 3x²−2=0이므로 조건 충족. 답을 구한 뒤 이 확인이 습관이 되어야 합니다. -
원점 대칭을 y축 대칭으로 읽는다
y축 대칭이면 x좌표가 α, −α이면서 y좌표는 같아야 하는데, 극대와 극소의 y좌표는 같을 수 없습니다. 문장을 다시 읽고 어떤 대칭인지 먼저 확정하세요.
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