쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 07 함수의 극대·극소의 활용
0557
난이도 중
극대·극소
선분의 내분점
풀이영상 있음
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선분의 내분점
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먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
극댓값·극솟값이 아니라 극대점·극소점의 좌표를 묻는 문제
미분은 앞의 두 줄로 끝납니다. 진짜 승부는 그 다음, 구한 값을 A(−1, 3), B(1, −1)이라는 두 점으로 정확히 옮겨 적고 내분점 공식(수학 상 · 도형의 방정식)을 꺼내 쓰는 데 있습니다. 단원이 다른 두 도구를 이어 붙이는 연결형 문항입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 극점의 x좌표부터
f′(x)=3x²−3=3(x+1)(x−1)이므로 f′(x)=0에서 x=−1, x=1.
최고차항 계수가 양수이니 왼쪽에서 극대, 오른쪽에서 극소입니다. 증감표를 +, −, + 로 채워 보세요.
최고차항 계수가 양수이니 왼쪽에서 극대, 오른쪽에서 극소입니다. 증감표를 +, −, + 로 채워 보세요.
힌트 2 — 값이 아니라 점으로
f(−1)=−1+3+1=3, f(1)=1−3+1=−1입니다. 여기서 “극댓값 3, 극솟값 −1″에서 멈추지 말고 점으로 적으세요.
A(−1, 3), B(1, −1). 이렇게 좌표로 써 두면 다음 단계에서 x와 y를 헷갈릴 일이 없습니다.
A(−1, 3), B(1, −1). 이렇게 좌표로 써 두면 다음 단계에서 x와 y를 헷갈릴 일이 없습니다.
힌트 3 — 내분점 공식의 순서
선분 AB를 m : n으로 내분하는 점은 ( (mx₂+nx₁)/(m+n), (my₂+ny₁)/(m+n) )입니다. 앞의 비 m이 뒤쪽 점 B의 좌표에 곱해진다는 점이 핵심입니다.
여기서는 A가 (x₁, y₁), B가 (x₂, y₂), m=1, n=2입니다. 대입만 남았습니다.
여기서는 A가 (x₁, y₁), B가 (x₂, y₂), m=1, n=2입니다. 대입만 남았습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ (−1/3, 5/3)
풀이영상
공식을 외우지 않는 길 — A에서 1/3만큼 걸어가기
1 : 2로 내분하는 점은 A에서 출발해 B까지 거리의 1/3 지점입니다. A에서 B로 가는 변화량은 (1−(−1), −1−3)=(2, −4).
그 1/3은 (2/3, −4/3)이므로 구하는 점은 (−1+2/3, 3−4/3) = (−1/3, 5/3). 비가 뒤집혔는지 헷갈릴 때 이 방법으로 검산하면 30초면 확인됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
A와 B를 바꿔 놓는다
x=−1이 극대, x=1이 극소입니다. A를 극소점으로 잡으면 내분 방향이 통째로 반대가 되어 (1/3, 1/3)이라는 그럴듯한 오답이 나옵니다. 증감표를 그려 놓고 좌표를 옮기세요. -
1 : 2를 2 : 1로 적용한다
내분비는 A쪽 : B쪽 순서입니다. 1 : 2면 A에 가까운 점입니다. 구한 점의 x좌표 −1/3이 A(−1)과 B(1) 중 A쪽에 치우쳐 있는지 눈으로 확인하는 것이 가장 빠른 검산입니다. -
공식에서 m을 x₁에 곱한다
(mx₂+nx₁)/(m+n)에서 계수가 엇갈려 곱해집니다. 이 교차를 잊으면 부호와 값이 동시에 어긋납니다. 헷갈리면 “A에서 1/3만큼 이동” 방식으로 바꿔 푸세요. -
y좌표 계산에서 부호를 흘린다
(1·(−1)+2·3)/3 입니다. B의 y좌표가 −1이라 1·(−1)을 +1로 적는 실수가 잦습니다. 값이 5/3이 아니라 7/3으로 나왔다면 이 경우입니다. -
극값만 구하고 좌표로 만들지 않는다
“극댓값 3, 극솟값 −1″까지만 적어 두면 다음 줄에서 x좌표를 다시 떠올려야 합니다. 극값을 구한 즉시 A(−1, 3), B(1, −1)로 옮겨 적는 것을 습관으로 만드세요.