쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0555
난이도 상
극댓값 조건과 미정계수
부등식 조건으로 걸러내기
풀이영상 있음
난이도 상
극댓값 조건과 미정계수
부등식 조건으로 걸러내기
풀이영상 있음
먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
극댓값 조건으로 후보를 뽑고, 남은 부등식 조건으로 하나를 버리는 2단 문제
조건이 두 개 주어졌다는 것 자체가 답이 하나로 정해지지 않는다는 예고입니다. f(a)=1에서 a의 삼차방정식이 나오고 근이 두 개 생기는데, 그 중 하나를 f(1)<5가 잘라 냅니다. 조건을 하나라도 흘리면 계산이 다 맞아도 오답이 되는 구조입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 도함수가 예쁘게 인수분해된다
f′(x)=6x²−6(2a+1)x+6(a²+a)에서 6으로 묶으면 x²−(2a+1)x+(a²+a)입니다. 상수항 a²+a=a(a+1), 일차항 계수 −(2a+1)=−{a+(a+1)}이므로 두 근이 보입니다.
f′(x)=6(x−a)(x−a−1). 두 근은 a와 a+1이고, 이 둘의 대소는 a의 값과 무관하게 항상 정해집니다.
f′(x)=6(x−a)(x−a−1). 두 근은 a와 a+1이고, 이 둘의 대소는 a의 값과 무관하게 항상 정해집니다.
힌트 2 — 극댓값 조건 세우기
최고차항 계수가 양수이므로 왼쪽 근 x=a에서 극대, 오른쪽 근 x=a+1에서 극소입니다. 조건은 f(a)=1.
대입해서 정리하면 2a³+3a²=1, 즉 2a³+3a²−1=0입니다. a=−1을 넣으면 0이 되므로 (a+1)로 나누어 보세요. 한 번 더 인수분해가 됩니다.
대입해서 정리하면 2a³+3a²=1, 즉 2a³+3a²−1=0입니다. a=−1을 넣으면 0이 되므로 (a+1)로 나누어 보세요. 한 번 더 인수분해가 됩니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
a=−1 또는 a=1/2 두 개가 남았다면 아직 끝이 아닙니다. 아직 쓰지 않은 조건 f(1)<5가 있습니다.
f(1)=2−3(2a+1)+6(a²+a)를 정리하면 6a²−1이 됩니다. 이것을 5보다 작다는 부등식으로 풀어 a의 범위를 구한 뒤, 두 후보 중 살아남는 값을 고르세요. 그리고 묻는 것은 a가 아니라 f(2)입니다.
f(1)=2−3(2a+1)+6(a²+a)를 정리하면 6a²−1이 됩니다. 이것을 5보다 작다는 부등식으로 풀어 a의 범위를 구한 뒤, 두 후보 중 살아남는 값을 고르세요. 그리고 묻는 것은 a가 아니라 f(2)입니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ f(2) = 1
풀이영상
버려지는 근을 직접 확인해 보기
a=−1을 넣으면 f(x)=2x³+3x²이고, f′(x)=6x(x+1)이니 x=−1에서 극댓값 f(−1)=1이 맞습니다. 극댓값 조건만으로는 절대 걸러지지 않는다는 뜻입니다.
그런데 f(1)=2+3=5. 조건이 f(1)≤5가 아니라 f(1)<5였으므로 등호에서 탈락합니다. 부등호가 <인지 ≤인지가 답을 통째로 바꾸는 문제이니, 두 후보를 각각 대입해 확인하는 습관을 들이세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
x=a+1을 극대로 잡는다
a와 a+1 중 왼쪽은 항상 a입니다. 최고차항 계수가 양수인 삼차함수는 왼쪽 근에서 극대, 오른쪽 근에서 극소입니다. 조건에 “x=a에서 극댓값”이라고 못 박혀 있으니 증감표와 어긋나면 계산이 틀린 것입니다. -
2a³+3a²−1=0에서 손을 놓는다
계수의 합이 아니라 a=−1 대입으로 근을 찾습니다. 조립제법으로 나누면 2a²+a−1=(2a−1)(a+1)이 되어 (a+1)²(2a−1)=0. 중근이라 후보가 두 개뿐입니다. -
a=−1을 그대로 답으로 쓴다
가장 많이 나오는 오답입니다. 문제에 조건이 두 줄 있었다면 두 줄 다 쓰기 전에는 끝난 것이 아닙니다. f(1)<5를 적용하면 −1<a<1이므로 a=1/2만 남습니다. -
f(1)을 정리하다 항을 흘린다
f(1)=2−3(2a+1)+6(a²+a)에서 −6a와 +6a가 서로 지워져 6a²−1이 됩니다. 일차항이 남았다면 전개 과정을 다시 보세요. -
a를 구하고 멈춘다
구해야 할 것은 f(2)입니다. a=1/2로 f(x)=2x³−6x²+(9/2)x를 확정한 다음, 2를 대입해 16−24+9=1까지 가야 답이 나옵니다.