쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0554
난이도 상
서술형
극값의 차와 미정계수
풀이영상 있음
난이도 상
서술형
극값의 차와 미정계수
풀이영상 있음
먼저 풀이영상으로 감을 잡고 싶다면
문제를 읽자마자
출제의도
극댓값과 극솟값을 a에 대한 식으로 남겨 두고, 그 차를 방정식으로 만들라는 문제
미지수가 계수에 들어 있으니 극값이 숫자로 나오지 않습니다. −10a³, (7/2)a³ 처럼 a의 식 그대로 두는 것이 정상입니다. 그리고 최고차항 계수가 음수라는 점이 이 문제의 진짜 함정입니다. 부호가 −, +, − 로 바뀌므로 왼쪽 x=−2a가 극소, 오른쪽 x=a가 극대입니다. 서술형이라 증감표를 남기는 것 자체가 배점입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 도함수부터 인수분해
f′(x)=−3x²−3ax+6a²입니다. 여기서 −3으로 먼저 묶으면 −3(x²+ax−2a²)이 되고, 상수항이 −2a²이므로 두 수의 곱이 −2a², 합이 a인 조합을 찾으면 됩니다.
인수분해된 모양에서 f′(x)=0의 두 근은 무엇인가요?
인수분해된 모양에서 f′(x)=0의 두 근은 무엇인가요?
힌트 2 — 어느 쪽이 극대인가
두 근은 x=−2a, x=a이고 a>0이므로 −2a < a가 확정됩니다. 여기서 습관대로 증감표를 +, −, + 로 쓰면 안 됩니다.
f′(x)의 최고차항 계수가 −3이라는 사실을 보세요. 위로 볼록한 이차식이니 두 근 바깥에서 음수, 사이에서 양수입니다. 그러면 극소와 극대의 위치는?
f′(x)의 최고차항 계수가 −3이라는 사실을 보세요. 위로 볼록한 이차식이니 두 근 바깥에서 음수, 사이에서 양수입니다. 그러면 극소와 극대의 위치는?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f(−2a)=−10a³, f(a)=(7/2)a³까지 나왔다면 조건은 (극댓값)−(극솟값)=1/2입니다.
(7/2)a³−(−10a³)에서 부호에 주의해 정리하면 (27/2)a³이 됩니다. a³의 값을 구한 뒤, 세제곱근을 취할 때 a>0 조건을 한 줄 인용하세요.
(7/2)a³−(−10a³)에서 부호에 주의해 정리하면 (27/2)a³이 됩니다. a³의 값을 구한 뒤, 세제곱근을 취할 때 a>0 조건을 한 줄 인용하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = 1/3
풀이영상
더 빠른 길 — 극값의 차 공식
삼차함수 f(x)=px³+⋯ 에서 f′(x)=0의 두 근의 간격이 d이면, 극댓값과 극솟값의 차는 항상 |p|d³/2 입니다.
여기서 p=−1, 두 근은 −2a와 a이므로 d=3a. 따라서 차는 1·(3a)³/2 = 27a³/2. 이것을 1/2과 놓으면 a³=1/27이 바로 나옵니다. 검산용으로 아주 좋지만, 서술형 답안에는 증감표와 f(−2a), f(a) 계산을 반드시 남기세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
증감표를 +, −, + 로 쓴다
f′의 최고차항 계수가 −3입니다. 부호는 −, +, − 순서이고 극소가 먼저, 극대가 나중입니다. 이 한 줄이 뒤바뀌면 −10a³을 극댓값으로 쓰게 되어 뒤가 전부 무너집니다. -
a>0을 근의 대소 비교에 쓰지 않는다
−2a와 a 중 어느 쪽이 왼쪽인지는 a의 부호로 정해집니다. “a>0이므로 −2a<a”라는 문장을 증감표 앞에 적어 두어야 표가 근거를 갖습니다. -
차를 구할 때 괄호 앞 음수를 흘린다
(7/2)a³ − (−10a³)입니다. 빼기와 음수가 겹치므로 (7/2)a³ − 10a³ 으로 잘못 쓰면 −13a³/2 이 되어 a³이 음수로 나옵니다. a>0과 모순되면 이 계산을 의심하세요. -
a³=1/27에서 답을 두 개 쓴다
세제곱근은 실수 범위에서 하나뿐이라 a=1/3입니다. 다만 조건 a>0을 근거로 명시해 두는 편이 답안으로 안전합니다. -
극값을 숫자로 만들려고 시간을 쓴다
a가 계수에 들어 있으니 극값은 a의 식으로 남는 것이 정상입니다. 채점 기준에서도 “극댓값과 극솟값을 a에 대한 식으로 나타낼 수 있다”가 배점의 절반(50%)입니다. 여기까지만 써도 절반은 확보됩니다.