쎈미적분1 0540

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용

0540
난이도 중
서술형
감소·증가 구간 조건
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쎈 미적분1 0540번 문제

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출제의도

한 함수에 걸린 두 종류의 구간 조건을 각각 뜯어서 교집합을 잡는 문제

감소 구간과 증가 구간이 동시에 요구됩니다. 부호가 반대인 두 조건을 하나로 합치려 하지 말고, 각 구간에서 f′(x)의 부호 조건을 따로 세운 뒤 마지막에 교집합을 잡는 게 이 유형의 정공법입니다. 서술형인 만큼 근거(위로 열린 이차함수 → 끝점 검사)를 반드시 적어야 합니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 조건 두 개를 분리해서 적기
감소는 f′≤0, 증가는 f′≥0. 부호가 서로 반대인 두 조건입니다. 하나의 부등식으로 합치려 들지 말고 각각 따로 적으세요.
먼저 f′(x)를 구하고, 이차항 계수 부호로 그래프 모양(위로/아래로)부터 확인하세요.
힌트 2 — 유한구간과 무한구간의 차이
위로 열린 f′(x)가 유한구간 (1, 2)에서 ≤0이려면 양 끝점 f′(1)≤0, f′(2)≤0.
같은 f′(x)가 무한구간 (3, ∞)에서 ≥0이려면… 위로 열린 포물선은 오른쪽으로 갈수록 커지니, 어느 지점 하나만 확인하면 됩니다. 어디를 볼까요?
힌트 3 — 교집합과 정수 개수
세 부등식(f′(1)≤0, f′(2)≤0, f′(3)≥0)의 교집합을 잡으면 −9/2 ≤ a ≤ −3이 나옵니다.
이 안의 정수를 셉니다. −9/2 = −4.5이므로 하한은 −4부터. 답은 몇 개인가요?

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 2 (정수 a는 −4, −3)

쎈 미적분1 0540번 해설 (1/2)
쎈 미적분1 0540번 해설 (2/2)

풀이영상

더 빠른 길 — 근으로 위치를 잡기

f′(x)=3x²+2ax = x(3x+2a). 두 근은 x=0, x=−2a/3. 위로 열린 포물선이므로 두 근 사이에서 f′≤0.
(1, 2)에서 f′≤0이려면 이 구간이 두 근 사이에 들어가야 하고, (3, ∞)에서 f′≥0이려면 큰 근이 3 이하여야 합니다. 결국 2 ≤ −2a/3 ≤ 3 → −9/2 ≤ a ≤ −3.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 두 구간 조건을 같은 부호로 세운다
    감소는 f′≤0, 증가는 f′≥0. 부호가 서로 반대라는 걸 처음부터 인지하고 시작해야 합니다. 같은 부호로 쓰기 시작하면 이후 계산이 전부 어긋납니다.
  • 무한구간에서도 양 끝점을 검사한다
    (3, ∞)는 오른쪽 끝이 없습니다. 위로 열린 포물선이 이 구간 전체에서 ≥0이려면 f′(3)≥0 하나만 확인하면 충분합니다. 굳이 x=100, 1000을 대입할 필요가 없습니다.
  • 채점 기준 3단계를 하나로 뭉쳐 쓴다
    서술형 채점은 ①f′ 부호 근거(30%) → ②a 범위(50%) → ③정수 개수(20%)로 나뉩니다. 각 단계마다 줄을 나눠 결론을 명시하세요. 뭉쳐 쓰면 부분점수를 놓칩니다.
  • −9/2를 −4로 잘못 반올림해 개수를 3개로 센다
    −9/2 = −4.5입니다. −4.5 ≤ a이므로 정수는 −4부터 (−5는 포함 안 됨). 상한 −3까지 세면 −4, −3의 2개. −5까지 넣지 마세요.
  • 부등식 방향을 대입 결과에서 흘린다
    f′(1)=3+2a≤0 → a≤−3/2. f′(2)=12+4a≤0 → a≤−3. f′(3)=27+6a≥0 → a≥−9/2. 마지막 조건에서 부등호 방향이 바뀝니다. 이 지점에서 방향이 뒤바뀌면 답이 통째로 달라집니다.


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