쎈미적분1 0539

작성자:

쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용

0539
난이도 중
함수의 증가와 감소
풀이영상 있음

먼저 보고 싶다면

풀이영상 바로보기

쎈 미적분1 0539번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

위로 열린 f′(x)라면, 구간에서 f′≤0인지는 양 끝점만 확인하면 된다

f′(x)=3x²+2ax−9는 이차항 계수가 양수, 즉 위로 열린 포물선입니다. 이런 포물선이 어떤 구간에서 계속 x축 아래에 있으려면 그 구간의 양 끝점에서 값이 0 이하이기만 하면 됩니다. 판별식도, 축의 위치도 검사할 필요가 없습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
f(x)가 어떤 구간에서 감소한다는 건 그 구간에서 f′(x)≤0이라는 뜻입니다. 먼저 f′(x)를 구하세요.
그리고 f′(x)의 이차항 계수 부호를 확인하세요. 위로 열려 있나요, 아래로 열려 있나요? 이게 방법을 결정합니다.
힌트 2 — 위로 열린 이차식의 조건
위로 열린 포물선 f′(x)가 구간 (−1, 2) 전체에서 0 이하이려면, 그 구간의 양 끝점에서만 0 이하이면 충분합니다. 축 위치나 판별식은 볼 필요가 없어요.
f′(−1)≤0과 f′(2)≤0, 두 부등식을 세우세요.
힌트 3 — 최댓값·최솟값의 곱
두 부등식을 연립하면 a의 범위 −3 ≤ a ≤ −3/4가 나옵니다. M은 이 범위의 최댓값, m은 최솟값입니다.
둘 다 음수이므로 Mm은 양수가 됩니다. 부호 실수 없이 곱해 보세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ④  Mm = 9/4

쎈 미적분1 0539번 해설

풀이영상

왜 두 끝점만 확인하면 되는가

위로 열린 이차함수 f′(x)가 구간 [α, β]에서 계속 ≤0이 될 필요충분조건은 f′(α)≤0 그리고 f′(β)≤0입니다. 축이 구간 안에 있으면 최댓값은 두 끝점 중 하나에서, 축이 구간 밖에 있으면 아예 구간 전체가 축의 한쪽 사면(斜面)에 놓입니다. 어느 경우든 두 끝점의 값보다 큰 값은 구간 안에 없습니다. 그래서 두 끝점만으로 충분합니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 감소 조건을 f′(x)<0으로 쓴다
    등호가 빠지면 a의 경계값을 잃어 M, m이 달라집니다. 감소는 f′≤0, 증가는 f′≥0. 등호 포함이 기본입니다.
  • 판별식으로 접근한다
    이 유형에서 판별식(D<0 등)을 세우면 조건이 완전히 달라집니다. 위로 열린 이차함수가 구간에서 ≤0인지는 축·판별식이 아니라 양 끝점의 부호로 판단합니다.
  • M과 m을 뒤바꾼다
    범위 −3 ≤ a ≤ −3/4에서 큰 쪽이 −3/4, 작은 쪽이 −3입니다. 음수의 크기 비교에서 실수하면 곧바로 답이 −11/4가 되어 오답이 나옵니다.
  • 음수 × 음수 = 음수로 계산한다
    (−3/4)×(−3) = 9/4. 부호를 흘려서 −9/4로 적으면 선택지에 없습니다. 답이 선택지에 없다는 신호가 뜨면 부호부터 재검토하세요.
  • 서술형이라면 “위로 열린 이차함수라서 끝점만 본다”는 근거를 생략한다
    객관식이면 넘어가도 되지만, 서술형에서는 이 한 줄이 채점 기준의 핵심 논거입니다. 부등식을 세우기 전에 반드시 명시하세요.


다른 문항도 풀어보기 — 전체 목록 바로가기  ›

문제번호로 바로 찾아가는 메인포스트

댓글 남기기