쎈미적분1 0541

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쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용

0541
난이도 상
접선의 y절편 · g(t)의 증가
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쎈 미적분1 0541번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

y절편 g(t)를 t의 함수로 먼저 정리한 뒤, 그 함수에 다시 증가조건을 거는 두 층짜리 문제

접선의 방정식을 세우고 x=0을 대입해 y절편 g(t)의 식을 뽑아내는 게 1층, 그렇게 얻은 g(t)에 (0, 4)에서 증가 조건을 걸어 a의 범위를 뽑는 게 2층입니다. 두 층을 뒤섞으면 절대 안 풀립니다. 순서를 지키세요.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 접선의 y절편 뽑아내기
(t, f(t))에서의 접선은 y − f(t) = f′(t)(x − t). y절편은 x = 0을 대입한 값입니다.
y = f(t) − t·f′(t). 이걸 계산해 g(t) 식을 정리하세요. 3차항이 어떻게 되는지 유심히 보세요.
힌트 2 — g(t)를 인수분해 가능한 형태로
정리하면 g(t) = −2t³ + (a+1)t². 3차항 계수가 음수라는 게 핵심입니다.
이제 g′(t)를 구해 인수분해하세요. 두 근이 나옵니다. 그중 하나는 항상 t = 0입니다.
힌트 3 — 아래로 열린 포물선이 열쇠
g′(t) = −6t² + 2(a+1)t = −2t(3t − a − 1). 이차항 계수가 음수 → 아래로 열린 포물선입니다.
두 근은 t = 0과 t = (a+1)/3. 아래로 열린 포물선은 두 근 사이에서만 ≥0. (0, 4)에서 g′≥0이 되려면 큰 근이 어디에 있어야 하나요?

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 11  (a의 최솟값)

쎈 미적분1 0541번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 큰 근 위치만 관리

g′(t) = −2t(3t − a − 1). 아래로 열린 포물선의 두 근은 0과 (a+1)/3. (0, 4)에서 계속 g′≥0이려면 이 구간이 두 근 사이에 들어가야 합니다. 왼쪽 근은 이미 0이니 왼쪽 조건은 자동으로 만족. 오른쪽 조건은 (a+1)/3 ≥ 4 하나뿐. 정리하면 a ≥ 11, 최솟값은 11. g′(4) ≥ 0을 대입 계산해도 같은 결론(8a − 88 ≥ 0)이 나옵니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • g(t)를 f(t)로 착각한다
    문제가 요구하는 건 접선의 y절편이지 접점의 y좌표 f(t)가 아닙니다. 접선식에 반드시 x = 0을 대입해서 뽑아내는 값입니다.
  • y절편 계산에서 부호를 흘린다
    y = f′(t)(x − t) + f(t)에서 x = 0을 넣으면 y = f(t) − t·f′(t). −t·f′(t)의 −부호를 빼먹으면 g(t) 자체가 틀립니다.
  • 3차항 소거를 놓친다
    f(t) − t·f′(t) = [t³ − (a+1)t² + 2at] − t[3t² − 2(a+1)t + 2a]. t³ − 3t³ = −2t³로 남습니다. 이 소거가 안 되면 g(t)가 3차항이 살아있는 다른 식이 되어 이후 계산이 전부 어긋납니다.
  • g′(t)를 위로 열린 것으로 착각한다
    g′(t) = −6t² + 2(a+1)t. 이차항 계수 −6은 음수. 아래로 열린 포물선이므로 “두 근 사이에서 ≥0″이 조건입니다. 위로 열린 것으로 오해하면 부등호 방향이 정반대로 갑니다.
  • 왼쪽 근 t = 0을 조건에 다시 넣는다
    왼쪽 근은 이미 0. 구간 (0, 4)의 왼쪽 끝과 정확히 일치하니 이 방향의 조건은 자동으로 만족됩니다. 관리할 미지수는 오른쪽 근 (a+1)/3만. 왼쪽 근에 대해 별도 부등식을 세우면 조건이 하나 늘어나 답이 이상해집니다.


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