쎈수학 미적분Ⅰ · 05단원 · 유형 04 함수의 그래프와 증가·감소
0542
대표 문제
개념 05-2
도함수의 부호와 증가·감소
풀이영상 있음
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도함수의 부호와 증가·감소
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문제를 읽자마자
출제의도
증가·감소의 경계는 −2, −1, 1, 2 같은 눈금이 아니라 그래프가 x축과 만나는 점
선택지는 전부 예쁜 정수 구간으로 주어져 있지만, f(x)의 증감이 갈리는 자리는 f′(x)=0이 되는 x좌표입니다. 그림에서 이 교점들은 눈금과 일부러 어긋나게 그려져 있습니다. 눈금과 교점을 겹쳐 읽는 순간 선택지 다섯 개 중 네 개가 함정에 걸립니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇의 그래프인가
그래프가 올라가는 구간을 “증가”, 내려가는 구간을 “감소”로 읽고 있다면 멈추세요. 주어진 것은 y=f(x)가 아니라 y=f′(x)의 그래프입니다.
f′ 그래프에서는 위아래(x축 위인가 아래인가)가 곧 f의 증가·감소입니다.
f′ 그래프에서는 위아래(x축 위인가 아래인가)가 곧 f의 증가·감소입니다.
힌트 2 — 경계에 이름 붙이기
그래프가 x축과 만나는 점은 네 개입니다. 작은 것부터 a, b, c, d라 이름 붙이고, 그림 위에 각 구간의 f′ 부호를 + − + − + 로 적으세요.
그림을 자세히 보면 a는 −2보다 왼쪽, b는 −2와 −1 사이, c는 0과 1 사이, d는 2보다 오른쪽입니다.
그림을 자세히 보면 a는 −2보다 왼쪽, b는 −2와 −1 사이, c는 0과 1 사이, d는 2보다 오른쪽입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
선택지의 구간이 한 가지 부호 구간 안에 통째로 들어가야만 “증가한다/감소한다”라고 말할 수 있습니다.
①의 (−∞, −2)는 도중에 a를 지나므로 부호가 한 번 바뀝니다. 이런 식으로 걸러내면 남는 것은 하나뿐입니다. (1, 2)는 어느 부호 구간 안에 들어 있나요?
①의 (−∞, −2)는 도중에 a를 지나므로 부호가 한 번 바뀝니다. 이런 식으로 걸러내면 남는 것은 하나뿐입니다. (1, 2)는 어느 부호 구간 안에 들어 있나요?
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ 구간 (1, 2)에서 f(x)는 감소한다
풀이영상
더 빠른 길 — 아래쪽부터 색칠하기
①번부터 차례로 검산하지 말고, x축 아래에 있는 두 구간 (a, b)와 (c, d)를 먼저 색칠하세요. 이 두 구간이 감소 구간의 전부입니다.
“감소한다”라고 주장하는 선택지는 ①, ③, ⑤ 세 개뿐이고, 그중 색칠한 구간 안에 통째로 들어가는 것은 (1, 2)뿐입니다. 나머지는 계산할 필요도 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
y=f′(x)를 y=f(x)로 읽는다
가장 흔한 사고입니다. 그래프가 우상향한다고 f가 증가하는 게 아닙니다. f′ 그래프는 “올라간다/내려간다”가 아니라 “x축 위/아래”로 읽습니다. -
−2, −1, 1, 2를 교점으로 착각한다
눈금은 선택지를 만들기 위한 표시일 뿐입니다. 실제 교점 a, b, c, d는 눈금과 어긋나 있으므로, 풀기 전에 a<−2, −2<b<−1, 0<c<1, 2<d를 그림에 직접 써 넣으세요. -
부호가 도중에 바뀌는 구간을 판정한다
(−∞, −2)는 a를 사이에 두고 증가에서 감소로 바뀝니다. 구간의 일부에서 감소한다고 “감소한다”가 되지 않습니다. 증감 판정은 구간 전체에서 성립해야 합니다. -
극값의 위치를 증감의 경계로 삼는다
f′ 그래프의 봉우리와 골짜기는 f″=0인 자리(변곡점)이지 f의 증감이 바뀌는 자리가 아닙니다. 경계는 오직 f′=0, 즉 x축과 만나는 점입니다. -
답이 두 개 나왔는데 그냥 하나를 고른다
이 문제에서 옳은 선택지는 정확히 하나입니다. 두 개 이상 맞다고 나왔다면 교점 위치를 눈금에 맞춰 잘못 읽은 것이니, a·b·c·d의 위치부터 다시 확인하세요.
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