쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용
0538
난이도 하
구간에서의 감소 조건
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난이도 하
구간에서의 감소 조건
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출제의도
구간 안에서 감소 → f′(x)≤0. 아래로 볼록에서 끝점 중 큰 값만 잡으면 끝
f′(x)=3x²+12x+(2a+1)은 아래로 볼록이고 축이 x=−2, 즉 구간 (−3, 0)의 내부. 아래로 볼록에서 최댓값은 구간의 두 끝값 중 하나이고, 두 값을 비교하면 f′(0)이 더 큽니다. 그래서 조건은 f′(0)≤0 하나로 충분합니다.
막혔을 때
힌트
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힌트 1 — 조건 번역
“구간 (−3, 0)에서 감소”는 그 구간 안 모든 x에서 f′(x) ≤ 0이라는 뜻입니다. f′(x)=3x²+12x+(2a+1)로 정리해 두세요.
힌트 2 — 축이 어디?
f′(x)=3(x+2)² + (2a−11). 축은 x = −2. 이 축은 구간 (−3, 0)의 내부입니다. 아래로 볼록에서 축이 구간 안이면, 그 구간의 f′ 최댓값은 축이 아니라 끝점에 있습니다. 어느 끝일까요?
힌트 3 — 큰 쪽만 잡으면 된다
f′(−3) = 27 − 36 + 2a+1 = 2a − 8, f′(0) = 2a + 1. 항상 f′(0) > f′(−3). 그래서 f′(0) ≤ 0만 세우면 됩니다. 2a + 1 ≤ 0 ⟹ a ≤ −1/2. 문제는 정수 a의 최댓값. −1/2 이하의 정수 최댓값은 −1.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 −1 (정수 a의 최댓값)
풀이영상
핵심 한 줄
아래로 볼록에서 축이 구간 내부인 경우, 구간에서의 최댓값은 두 끝점 값 중 큰 것. 두 값 중 어느 쪽이 큰지 계수로 바로 판단하면 조건이 하나로 줄어듭니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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축(x=−2)에서의 값을 조건으로 잡는다
축은 아래로 볼록 이차식의 최솟값 위치. 감소 조건에서는 최댓값이 문제이므로 축 값은 무관합니다. 축이 구간 안이면 오히려 두 끝점 값 중 큰 쪽이 조건. -
양 끝점 조건 둘 다 세운다
f′(−3)≤0 과 f′(0)≤0 을 다 쓰면 답은 맞지만, f′(0)이 항상 더 큰 값이므로 f′(0)≤0 이 자동으로 f′(−3)≤0을 함의합니다. 조건을 늘리면 계산과 실수만 늘어요. -
축이 구간 밖이라고 잘못 판단한다
x=−2는 −3 < −2 < 0이므로 구간 (−3, 0)의 내부. 축이 밖이었다면 f′는 구간에서 단조라서 조건이 또 달라집니다. 축 위치는 반드시 먼저 확인. -
a ≤ −1/2에서 멈춘다
문제는 정수 a의 최댓값. −0.5 이하의 정수는 −1, −2, −3, … 이므로 최댓값은 −1. 실수/정수 구분과 부호(음수 쪽 최대)까지 확인하세요. -
f′(−3) 대입 시 부호 실수
f′(−3) = 3·9 + 12·(−3) + 2a+1 = 27 − 36 + 2a+1 = 2a − 8. 12·(−3) = −36 을 빼먹거나 부호를 놓치는 경우가 많습니다. 각 항을 따로 적고 마지막에 합치세요.
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