쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 03 대표문제
0537
대표문제
구간에서의 증가 조건
풀이영상 있음
대표문제
구간에서의 증가 조건
풀이영상 있음
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출제의도
구간 안에서 증가 → f′(x)≥0. 그다음은 f′의 축 위치로 조건 개수를 결정한다
실수 전체 감소·증가는 판별식으로, 특정 구간 안의 증가·감소는 그 구간에서 f′의 최솟값(또는 최댓값)이 부호를 만족하면 됩니다. f′(x)=−3x²+2x+a는 위로 볼록이고 축이 x=1/3, 즉 구간 (1, 2)의 왼쪽 밖. 그래서 f′는 이 구간에서 계속 감소하고, 조건은 오른쪽 끝 f′(2)≥0 하나로 정리됩니다.
막혔을 때
힌트
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힌트 1 — 조건 번역
“1f′(x)≥0이라는 뜻입니다. f′(x)를 구해 이차식으로 정리해 두세요.
힌트 2 — f′의 모양과 축
f′(x)=−3x²+2x+a는 위로 볼록. 축은 x=1/3입니다. 축이 구간 (1, 2)의 왼쪽 밖이므로, 이 구간에서 f′는 계속 감소합니다. 그럼 f′의 최솟값은 구간의 어느 쪽 끝에 있을까요?
힌트 3 — 끝값 조건
최솟값은 오른쪽 끝 x=2 쪽에 있습니다. f′(2) ≥ 0만 세우면 끝. f′(2) = −3·4 + 4 + a = −8 + a. −8 + a ≥ 0 ⟹ a ≥ 8. 답은 실수 a의 최솟값이므로 8.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ 실수 a의 최솟값 = 8
풀이영상
핵심 한 줄
위로 볼록 이차식이 구간 (α, β)에서 계속 감소한다면(축이 구간 왼쪽 밖), 그 구간에서 최솟값은 우측 끝 근처. “구간에서 ≥ 0″은 우측 끝값 ≥ 0 하나로 대체됩니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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판별식 D≤0 을 그대로 쓴다
D≤0은 “모든 실수에서 f′≥0″일 때 씁니다. 이 문제는 구간 (1, 2) 안에서만 ≥0이면 되므로 D 조건이 아닙니다. 실수 전체 vs 구간 — 구분이 유형의 핵심입니다. -
f′의 축 위치를 먼저 확인하지 않는다
축이 구간 안에 있는지, 왼쪽 밖인지, 오른쪽 밖인지에 따라 조건 개수가 달라집니다. 축 = 1/3 → (1,2)의 왼쪽 밖. 이 정보 없이 f′(1)≥0을 추가로 세우면 시간 낭비. -
양 끝점 조건을 모두 세운다
f′가 이 구간에서 감소만 하므로 f′(1) > f′(2). f′(2)≥0이면 f′(1)≥0은 자동. 두 조건을 다 쓰면 답은 맞지만, 계산량과 실수 확률이 배로 늘어납니다. -
등호를 뺀다
열린 구간 (1, 2)에서의 조건이라도, f′는 연속이므로 끝점 값에 등호를 포함해 f′(2) ≥ 0으로 씁니다. a > 8 로 답하면 정답 8을 놓칩니다. -
부호 실수: f′(2) = −8 + a 를 8 − a 로 적는다
f′(x)=−3x²+2x+a에서 x=2 대입 시 −3·4=−12가 아니라 −3·(2)²=−12? 다시: −3·4+2·2+a = −12+4+a = −8+a. 계수 부호와 자기 자신 대입을 두 번 확인.
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