쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 (2) 극대·극소와 최대·최소
0530
난이도 중
서술형
감소하는 구간
근과 계수의 관계
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문제를 읽자마자
출제의도
감소구간의 양 끝값이 곧 f′(x)=0의 두 근이라는 사실을 쓰라는 문제
f(x)가 감소한다는 말은 f′(x)≤0. 감소구간이 −1≤x≤b로 딱 닫혀 있다는 건, 그 구간의 양 끝에서 f′(x)가 0이 된다는 뜻입니다. 여기까지 오면 남은 건 근과 계수의 관계 한 번. 서술형이니 이 논리 흐름 자체가 채점 포인트입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — f′(x)로 번역하기
f(x)가 감소하는 x의 범위가 −1≤x≤b라는 조건을, f′(x)의 부호 조건으로 바꿔 써 보세요.
이차부등식 f′(x)≤0의 해집합이 −1≤x≤b가 되어야 한다는 말입니다.
이차부등식 f′(x)≤0의 해집합이 −1≤x≤b가 되어야 한다는 말입니다.
힌트 2 — 이차부등식과 두 근
f′(x)=6x²−12x+a는 최고차항 계수가 6>0이므로 아래로 볼록한 이차식. 아래로 볼록한 이차식이 f′(x)≤0이 되는 구간의 양 끝은 곧 f′(x)=0의 두 근입니다.
그러므로 이차방정식 6x²−12x+a=0의 두 근이 −1과 b라는 결론이 나옵니다. 서술형에서는 이 한 줄을 반드시 쓰세요(채점기준 40%).
그러므로 이차방정식 6x²−12x+a=0의 두 근이 −1과 b라는 결론이 나옵니다. 서술형에서는 이 한 줄을 반드시 쓰세요(채점기준 40%).
힌트 3 — 근과 계수의 관계
두 근이 −1, b이므로 근과 계수의 관계로 두 식을 세웁니다.
합: −1+b = 12/6 = 2 → b=3
곱: (−1)·b = a/6 → a=−18
마지막에 문제가 묻는 값이 a나 b가 아니라 a+b라는 걸 다시 확인하세요.
합: −1+b = 12/6 = 2 → b=3
곱: (−1)·b = a/6 → a=−18
마지막에 문제가 묻는 값이 a나 b가 아니라 a+b라는 걸 다시 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a+b = −15
풀이영상
다른 풀이 — 인수분해로 계수 비교
f′(x)=6x²−12x+a의 두 근이 −1, b이므로 f′(x)=6(x+1)(x−b). 전개하면 6x²+6(1−b)x−6b. 원식과 계수 비교로 6(1−b)=−12 → b=3, −6b=a → a=−18. 근과 계수의 관계를 아직 익히지 않은 학생에게 유용한 대체 경로입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
“감소한다 ⇔ f′(x)≤0” 방향을 헷갈린다
감소는 f′(x)≤0, 증가는 f′(x)≥0. 부호 규칙을 매번 새로 떠올리지 말고 “감소 = 아래로” “도함수 = 기울기” 한 문장으로 굳혀 두세요. -
이차식의 볼록 방향 확인을 건너뛴다
f′(x)=6x²−12x+a에서 6>0이라는 확인 한 줄이 있어야 “f′(x)≤0의 해가 두 근 사이”라는 결론이 정당해집니다. 위로 볼록(계수<0)이면 결론이 뒤집힙니다. -
서술형에서 근과 계수의 관계 근거를 안 쓴다
채점기준상 “이차방정식 f′(x)=0의 두 근이 −1, b임을 알 수 있다”가 40%, “a, b의 값을 구할 수 있다”가 40%. 이 두 줄을 명시적으로 쓰지 않으면 답이 맞아도 큰 폭으로 감점됩니다. -
b>−1인지 확인하지 않는다
감소구간이 −1≤x≤b라는 표기 자체가 b>−1을 전제합니다. 근을 구한 뒤 b=3>−1임을 한 줄 확인하는 습관이 서술형 감점을 막아 줍니다. -
a나 b만 답으로 쓴다
문제가 요구한 값은 a+b. a=−18, b=3을 각각 쓴 다음 반드시 합을 구해 답란에 −15를 적으세요.
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