쎈미적분1 0531 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 (2) 극대·극소와 최대·최소

0531
난이도 중
대표문제
실수 전체에서 증가
판별식
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문제를 읽자마자

삼차함수 증가 ⇒ 도함수의 판별식 D≤0. 이 유형의 표준 절차를 정확히 실행하라는 문제

f′(x)가 이차식이고 x² 계수가 양수이므로, “모든 실수에서 f′(x)≥0″은 곧 “이 이차식이 x축을 뚫고 내려가지 않는다”, 즉 판별식 D≤0. 여기서 유일한 계산은 D를 a에 대한 이차부등식으로 정리해 푸는 일입니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 증가의 조건을 f′(x)로 옮기기

f(x)가 실수 전체에서 증가하려면 모든 실수 x에 대해 f′(x)≥0이어야 합니다. 먼저 f′(x)를 미분해서 어떤 모양인지 확인하세요.

힌트 2 — 이차식이 항상 ≥0일 조건

f′(x)=x²+2ax+3a+4. x² 계수가 1>0이므로 아래로 볼록. 아래로 볼록한 이차식이 x축 아래로 내려가지 않으려면 판별식 D≤0.
D/4 = a² − (3a+4) 를 정리해서 a에 대한 이차부등식으로 만들어 보세요.

힌트 3 — 인수분해와 정수 개수

D/4 = a²−3a−4 ≤ 0. 인수분해하면 (a+1)(a−4)≤0. 해집합은 −1≤a≤4.
이 범위에 들어가는 정수를 양 끝값 포함해서 세면 몇 개인가요? 등호가 허용된다는 점을 잊지 마세요(D=0이어도 f′≥0은 성립).

다 풀고 나서

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정답 ④ (6개)

쎈 미적분1 0531번 해설

풀이영상

다른 풀이 — 완전제곱으로 최솟값 조건

f′(x)=x²+2ax+3a+4 = (x+a)² + (−a²+3a+4). x=−a에서 최솟값 −a²+3a+4를 갖습니다. 모든 x에서 f′≥0 ⇔ 최솟값 ≥0 ⇔ −a²+3a+4 ≥ 0 ⇔ a²−3a−4 ≤ 0. 판별식을 굳이 쓰지 않아도 같은 부등식이 나옵니다.

덮기 직전에

증가/감소 조건의 판별식 부호를 뒤집는다
x² 계수가 양수인 이차식이 항상 ≥0 → D≤0. 방향이 헷갈리면 “그래프가 x축 위에 걸쳐 있으려면 만나는 점이 없어야 한다(D<0) 또는 접해야 한다(D=0)”로 그림을 그려 확인하세요.
등호를 놓친다
이 유형은 f′(x)=0인 점이 유한 개 있어도 증가함수 조건을 만족합니다. 그래서 D=0(중근)까지 허용, 즉 D≤0. 부등호를 <로 잘못 쓰면 a=−1, a=4가 빠져 정수 개수가 4개로 줄어듭니다.
인수분해 방향을 뒤집는다
a²−3a−4 = (a+1)(a−4). (a−1)(a+4)로 잘못 쓰면 해집합이 −4≤a≤1이 되어 답이 통째로 달라집니다. 상수항 −4의 두 인수 (+1, −4)의 합이 −3인지 확인하는 습관.
0을 빼먹고 정수를 센다
−1, 0, 1, 2, 3, 4 → 6개. 정수 개수를 셀 때 0을 빠뜨리기 쉽습니다. 손가락으로 하나씩 짚으며 세는 게 안전합니다.
대표문제라고 유형을 통째로 외운다
바로 다음 문항 0532처럼 최고차항 계수가 문자인 순간 조건이 두 개(계수 부호+판별식)로 늘어납니다. “판별식만 쓰면 된다”고 외우면 그 문제에서 무너집니다. 이 문제는 “x² 계수가 상수 1이라 볼록 방향이 이미 결정되어 있어서” 판별식 한 개로 끝나는 경우임을 기억하세요.

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