쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 01 함수의 증가와 감소
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문제를 읽자마자
출제의도
증가와 감소가 갈리는 x=1, x=3이 곧 f′(x)=0의 두 근
조건이 세 줄이라 복잡해 보이지만, 실제로 하는 말은 하나입니다. f′(x)=x²+2ax+b가 1과 3 사이에서만 음수이고 바깥에서는 양수라는 것. 최고차항 계수가 1인 아래로 볼록한 이차함수가 그런 부호를 가지려면 두 근이 1과 3일 수밖에 없습니다. 나머지는 근과 계수의 관계 두 줄입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — f(x)에 1과 3을 대입하려 했다면
f(1), f(3)을 계산하는 방향은 이 문제와 무관합니다. 증가·감소 조건이므로 볼 것은 f′(x)입니다.
f(x)=⅓x³+ax²+bx+2를 미분하면 f′(x)=x²+2ax+b. 이 이차함수의 최고차항 계수는 1, 즉 아래로 볼록입니다.
f(x)=⅓x³+ax²+bx+2를 미분하면 f′(x)=x²+2ax+b. 이 이차함수의 최고차항 계수는 1, 즉 아래로 볼록입니다.
힌트 2 — 부호 그림을 그려 보기
조건을 f′의 부호로 옮기면 이렇습니다. x≤1과 x≥3에서 f′(x)≥0, 1≤x≤3에서 f′(x)≤0.
아래로 볼록한 이차함수가 딱 한 구간에서만 음수라면, 그 구간의 양 끝이 곧 그래프가 x축과 만나는 점입니다. f′(x)=0의 두 근은 무엇인가요?
아래로 볼록한 이차함수가 딱 한 구간에서만 음수라면, 그 구간의 양 끝이 곧 그래프가 x축과 만나는 점입니다. f′(x)=0의 두 근은 무엇인가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
x²+2ax+b=0의 두 근이 1과 3입니다. 근과 계수의 관계에서
두 근의 합: 1+3 = −2a, 두 근의 곱: 1×3 = b.
a와 b를 각각 구한 뒤, 문제가 요구한 것이 a+b가 아니라 a−b임을 확인하고 계산하세요.
두 근의 합: 1+3 = −2a, 두 근의 곱: 1×3 = b.
a와 b를 각각 구한 뒤, 문제가 요구한 것이 a+b가 아니라 a−b임을 확인하고 계산하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 −5 (a=−2, b=3)
풀이영상
더 빠른 길 — 식을 통째로 맞추기
f′(x)는 최고차항 계수가 1이고 두 근이 1, 3이므로 곧바로 f′(x)=(x−1)(x−3)=x²−4x+3으로 쓸 수 있습니다.
이것을 x²+2ax+b와 계수끼리 비교하면 2a=−4, b=3. 근과 계수의 관계를 떠올릴 필요 없이 a=−2, b=3이 한 줄에 나옵니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
두 근의 합을 2a로 놓는다
x²+2ax+b에서 두 근의 합은 −2a입니다. 1+3=2a로 쓰면 a=2가 되어 부호가 통째로 뒤집힙니다. 일차항 계수 앞의 마이너스를 빠뜨리는 것이 이 문항 최다 오답 원인입니다. -
f′(x)를 잘못 구한다
⅓x³의 도함수는 x², ax²의 도함수는 2ax입니다. ⅓의 처리나 2ax의 계수 2를 놓치면 근과 계수의 관계 자체가 무의미해집니다. -
f(1)=0, f(3)=0으로 착각한다
x=1, x=3은 함숫값이 0인 점이 아니라 극값을 갖는 점, 즉 f′(x)=0인 점입니다. f에 대입하는 순간 미지수가 맞지 않아 헤매게 됩니다. -
a−b가 아니라 a+b를 구한다
a=−2, b=3까지 정확히 구해 놓고 마지막 줄에서 1을 답으로 적는 경우가 많습니다. a−b = −2−3 = −5. 두 값을 따로 적어 놓고 계산하세요. -
이차함수의 볼록 방향을 확인하지 않는다
“1과 3 사이에서 음수”라는 정보가 성립하려면 f′이 아래로 볼록해야 합니다. 최고차항 계수가 1(양수)임을 한 줄 적어 두면 서술형에서 감점을 피할 수 있습니다.
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