쎈미적분1 0528 - 답지나라

쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 01 함수의 증가와 감소

0528
난이도 하
감소 구간과 포함관계
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문제를 읽자마자

출제의도

감소 구간 [−1, 1] 안에 [−a, a]가 들어가야 한다는 포함관계 문제

문제는 “구간 [−a, a]에서 감소한다”고 했지, “감소하는 구간이 [−a, a]이다”라고 하지 않았습니다. f의 감소 구간 전체를 먼저 구한 다음, 주어진 구간이 그 안에 들어갈 조건을 따지는 것이 이 문항의 전부입니다. 최댓값을 묻는 이유도 여기에 있습니다.

막혔을 때

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — a를 잠시 잊자

a가 들어 있어서 어려워 보이지만, a는 f(x)의 식에 전혀 없습니다. 먼저 f가 감소하는 구간 전체부터 구하세요.
f(x)=x³−3x+2에서 f′(x)는 무엇이고, 감소 조건은 f′(x)에 대해 어떤 부등식인가요?

힌트 2 — 감소 구간 확정

f′(x)=3x²−3=3(x+1)(x−1)이고, 감소하려면 f′(x)≤0이어야 합니다.
3(x+1)(x−1)≤0을 풀면 −1≤x≤1. 이것이 이 함수가 감소할 수 있는 구간의 전부입니다. 여기보다 넓은 구간에서는 절대 감소할 수 없습니다.

힌트 3 — 마지막 한 걸음

[−a, a]에서 감소하려면 [−a, a] ⊂ [−1, 1]이어야 합니다. a>0이므로 조건은 a≤1 하나로 정리됩니다.
구하는 것은 a의 값이 아니라 최댓값입니다. 등호가 성립할 때, 즉 [−a, a]가 [−1, 1]과 정확히 겹칠 때가 한계점입니다.

다 풀고 나서

정답·해설 펼치기

정답 1 (양수 a의 최댓값)

쎈 미적분1 0528번 해설

풀이영상

그림으로 보면 — 대칭성 활용

f′(x)=3x²−3은 y축 대칭인 이차함수라 f′(x)≤0인 구간 [−1, 1] 자체가 원점에 대해 대칭입니다. 주어진 구간 [−a, a]도 원점 대칭이므로, 두 구간의 포함관계는 오른쪽 끝점만 비교하면 끝납니다. a≤1, 따라서 최댓값 1.

덮기 직전에

[−a, a] = [−1, 1]로 등호를 놓고 끝낸다
이 문제는 최댓값을 물었기에 결과가 우연히 맞습니다. 하지만 조건은 “같다”가 아니라 “포함된다”입니다. a의 범위나 최솟값을 묻는 변형 문제에서는 이 습관이 그대로 오답이 됩니다.
a>0 조건을 놓친다
포함관계만 따지면 −1≤a≤1처럼 잡기 쉽습니다. 문제에 “양수 a”라고 명시되어 있으므로 0<a≤1로 좁혀야 최댓값이 명확해집니다.
감소를 f(x)<0으로 착각한다
f(0)=2로 양수여도 그 근처에서 f는 감소합니다. 함숫값의 부호와 증가·감소는 무관하며, 판단 기준은 언제나 f′(x)의 부호입니다.
등호 없이 f′(x)<0으로 풀어 끝점을 버린다
−1<x<1로 잡으면 a=1이 답에서 빠져 최댓값이 없다는 결론에 이릅니다. 닫힌구간에서의 증가·감소는 끝점을 포함해 판정합니다.
f′(x)의 계수 3을 흘린다
3x²−3을 x²−3으로 적으면 근이 ±√3이 되어 답이 통째로 달라집니다. 다행히 3은 양수라 부등호 방향에는 영향이 없지만, 근은 반드시 3(x+1)(x−1) 형태에서 읽으세요.

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