쎈수학 미적분Ⅰ · 05 도함수의 활용 · 유형 01 함수의 증가와 감소
0527
대표문제
증가하는 구간
풀이영상 있음
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증가하는 구간
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문제를 읽자마자
출제의도
“증가하는 구간을 구하라”는 곧 f′(x)≥0인 x의 범위를 구하라는 말
삼차함수의 그래프를 그릴 필요가 전혀 없는 문항입니다. f(x)의 최고차항 계수가 음수라서 f′(x)가 위로 볼록한 이차식이 되고, 부등식을 풀 때 음수로 나누며 부등호가 한 번 뒤집힙니다. 이 유형에서 출제자가 노리는 지점은 사실상 그 한 줄뿐입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 번역부터
증가·감소를 묻는 문제에서 f(x)를 붙들고 있으면 안 됩니다. 미분가능한 함수에서 증가 ⟺ f′(x)≥0입니다.
먼저 f′(x)를 구하세요. f(x)=−x³−3x²+24x−2를 미분하면 어떤 이차식이 나오나요?
먼저 f′(x)를 구하세요. f(x)=−x³−3x²+24x−2를 미분하면 어떤 이차식이 나오나요?
힌트 2 — 부호가 뒤집히는 지점
f′(x)=−3x²−6x+24=−3(x+4)(x−2)입니다. 여기서 −3(x+4)(x−2)≥0을 풀어야 합니다.
양변을 −3으로 나누는 순간 부등호 방향이 반대로 바뀝니다. (x+4)(x−2)는 0보다 큰가요, 작은가요?
양변을 −3으로 나누는 순간 부등호 방향이 반대로 바뀝니다. (x+4)(x−2)는 0보다 큰가요, 작은가요?
힌트 3 — 마지막 한 걸음
(x+4)(x−2)≤0이면 해는 두 근 사이, 즉 −4≤x≤2입니다.
이 구간이 문제에서 말한 [α, β]이므로 α=−4, β=2. 묻는 것은 α와 β 각각이 아니라 α+β라는 점을 확인하고 마무리하세요.
이 구간이 문제에서 말한 [α, β]이므로 α=−4, β=2. 묻는 것은 α와 β 각각이 아니라 α+β라는 점을 확인하고 마무리하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ① α+β = −2
풀이영상
더 빠른 길 — 근과 계수의 관계
α와 β는 결국 f′(x)=0의 두 근입니다. −3x²−6x+24=0 ⟹ x²+2x−8=0이므로 두 근의 합은 −2.
인수분해도, 부등식 풀이도 없이 α+β=−2가 바로 나옵니다. 단, “구간이 [α, β] 꼴로 실제로 존재하는가”는 f′의 최고차항 부호로 한 번 확인해 두세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
음수로 나누면서 부등호를 그대로 둔다
−3(x+4)(x−2)≥0에서 (x+4)(x−2)≥0으로 넘어가면 해가 x≤−4 또는 x≥2가 됩니다. 이건 [α, β] 꼴의 한 구간이 아니므로, 이런 답이 나왔다면 그 자리에서 부호를 의심하세요. -
f′(x) 대신 f(x)의 부호를 조사한다
함숫값이 양수인 것과 함수가 증가하는 것은 아무 상관이 없습니다. 증가·감소는 언제나 도함수의 부호입니다. -
등호를 빼고 f′(x)>0으로만 푼다
답이 열린구간 (−4, 2)로 나와 [α, β]와 형태가 어긋납니다. 증가·감소 구간은 양 끝점을 포함한 닫힌구간으로 잡는 것이 표준입니다. -
미분 과정에서 부호를 흘린다
−x³은 −3x², −3x²은 −6x입니다. 앞의 마이너스를 한 번만 놓쳐도 f′(x)=3x²−6x+24 같은 식이 되어 인수분해 자체가 되지 않습니다. -
α+β가 아니라 β−α나 αβ를 구한다
−4와 2를 구해 놓고 마지막 한 줄에서 틀리는 경우가 가장 많습니다. α=−4, β=2를 따로 적은 뒤 문제 문장을 다시 읽고 계산하세요.
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