쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용
0475
난이도 상
평균값 정리의 조건
풀이영상 있음
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평균값 정리의 조건
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풀이영상
함수 f(x)에 대하여 {f(2)−f(−2)} / 4 = f′(c)인 상수 c가 열린구간 (−2, 2)에 존재하는 함수인 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?
보기
- ㄱ. f(x) = x|x|
- ㄴ. f(x) = √((x+3)²)
- ㄷ. f(x) = −x²+4|x|
① ㄱ② ㄴ③ ㄷ④ ㄱ, ㄴ⑤ ㄴ, ㄷ
문제를 읽자마자
출제의도
주어진 식은 평균값 정리의 결론 그 자체 — 조건을 갖췄는지 검사하는 문제
분모 4는 2−(−2)이므로 이 식은 닫힌구간 [−2, 2]의 할선 기울기입니다. 즉 연속·미분가능이라는 두 조건만 통과하면 c의 존재는 자동입니다. 여기에 함정이 하나 더 있습니다. 조건이 깨진 함수라고 해서 c가 없다고 단정할 수는 없다는 것. 그 경우만 손으로 직접 확인해야 합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 분모 4의 정체
4를 그냥 숫자로 보면 아무 단서도 얻지 못합니다. 4 = 2−(−2)로 고쳐 쓰는 순간, 주어진 식은 평균값 정리의 결론과 글자 그대로 같아집니다.
그렇다면 이 문제는 계산 문제가 아니라 구간 [−2, 2]에서 조건을 만족하는가를 묻는 판정 문제입니다. 무엇과 무엇을 확인해야 할까요?
그렇다면 이 문제는 계산 문제가 아니라 구간 [−2, 2]에서 조건을 만족하는가를 묻는 판정 문제입니다. 무엇과 무엇을 확인해야 할까요?
힌트 2 — 절댓값에 속지 않기
세 함수 모두 절댓값이나 근호를 달고 있지만, 꺾이는지 아닌지는 하나씩 따져야 합니다.
ㄱ의 x|x|는 x=0에서 좌·우 미분계수가 각각 얼마인가요? ㄴ의 √((x+3)²)는 |x+3|이고, 꺾이는 점은 x=−3입니다. 그 점이 [−2, 2] 안에 있나요?
ㄱ의 x|x|는 x=0에서 좌·우 미분계수가 각각 얼마인가요? ㄴ의 √((x+3)²)는 |x+3|이고, 꺾이는 점은 x=−3입니다. 그 점이 [−2, 2] 안에 있나요?
힌트 3 — 조건이 깨진 것은 따로 확인
ㄷ은 x=0에서 좌미분계수 −4, 우미분계수 4로 꺾입니다. 평균값 정리를 쓸 수 없다는 뜻이지, c가 없다는 뜻은 아닙니다.
f(2)=f(−2)=4이므로 할선 기울기는 0입니다. f′(x)=0인 x를 x>0과 x<0에서 각각 구해 보고, 그 값이 열린구간 (−2, 2) 안에 들어오는지 확인하세요.
f(2)=f(−2)=4이므로 할선 기울기는 0입니다. f′(x)=0인 x를 x>0과 x<0에서 각각 구해 보고, 그 값이 열린구간 (−2, 2) 안에 들어오는지 확인하세요.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ④ ㄱ, ㄴ
다른 풀이 — 그래프 없이 식으로만
ㄱ. f(x)=x|x|이므로 f′(x)=2|x|. f(2)=4, f(−2)=−4에서 할선 기울기는 2이고, 2|c|=2에서 c=±1로 (−2, 2) 안에 존재합니다.
ㄴ. 구간 [−2, 2]에서는 x+3>0이므로 f(x)=x+3, f′(x)=1. 할선 기울기도 (5−1)/4=1이므로 구간 안의 모든 점이 c가 됩니다.
ㄷ. f(2)=f(−2)=4이므로 할선 기울기는 0. x>0에서 f′(x)=−2x+4=0이면 x=2, x<0에서 f′(x)=−2x−4=0이면 x=−2로 둘 다 끝점이라 제외되고, x=0에서는 미분가능하지 않습니다. 따라서 조건을 만족하는 c가 없습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
절댓값만 보고 ㄱ을 탈락시킨다
x|x|는 x=0에서 좌·우 미분계수가 모두 0이라 미분가능합니다. 절댓값이 있으면 무조건 꺾인다는 반사신경이 여기서 오답을 만듭니다. |x|와 x|x|는 다릅니다. -
√((x+3)²)를 곧바로 x+3으로 쓴다
원칙은 |x+3|입니다. 이번엔 구간 [−2, 2]에서 x+3>0이라 결과가 같지만, 근거 없이 벗기는 습관은 구간이 음수로 내려가는 문제에서 바로 틀립니다. 서술형에서는 이 한 줄이 배점입니다. -
ㄴ의 꺾이는 점이 구간 안에 있다고 착각한다
|x+3|이 꺾이는 곳은 x=−3이고, 이는 [−2, 2] 밖입니다. 구간 안에서는 그냥 직선이라 오히려 가장 안전한 보기입니다. -
미분가능하지 않으면 c도 없다고 단정한다
평균값 정리는 충분조건일 뿐입니다. 조건이 깨져도 c가 존재하는 함수는 얼마든지 있습니다. ㄷ은 조건이 깨졌기 때문이 아니라, 직접 확인해 보니 없었기 때문에 탈락입니다. -
ㄷ에서 나온 x=±2를 c로 센다
문제가 요구한 것은 열린구간 (−2, 2)입니다. 끝점은 c가 될 수 없으므로 둘 다 버려야 하고, 이걸 세면 ⑤로 빠집니다.
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