쎈미적분1 0474

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04 도함수의 활용

0474
난이도 중
평균값 정리
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풀이영상

함수

f(x) = x²−2x+1   (x ≥ 0)
f(x) = −x²−2x+1  (x < 0)

에 대하여 닫힌구간 [−2, 3]에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 c의 개수는?

① 1② 2③ 3④ 4⑤ 5

문제를 읽자마자

출제의도

평균값 정리는 적어도 하나를 보장할 뿐, 개수는 직접 세라는 문제

f(−2)=1, f(3)=4이므로 할선의 기울기는 3/5로 이미 고정되어 있습니다. 남은 일은 f′(x)=3/5를 두 조각에서 각각 풀고, 나온 값이 그 조각의 범위 안에 들어오는지 확인하는 것뿐입니다. 조각함수라는 겉모습이 어렵게 보일 뿐, 계산 자체는 일차방정식 두 개입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 목표값부터 확정하기
평균값 정리가 말하는 c는 할선과 기울기가 같은 접점의 x좌표입니다. 그러니 먼저 그 기울기 하나를 숫자로 못 박아야 합니다.
f(−2)는 어느 식에, f(3)은 어느 식에 넣어야 하나요? 두 값을 구해 {f(3)−f(−2)} / {3−(−2)}를 계산해 보세요.
힌트 2 — 쓸 자격이 있는지 확인
평균값 정리는 닫힌구간에서 연속, 열린구간에서 미분가능할 때만 쓸 수 있습니다. 이 함수는 x=0에서 식이 갈라지므로 그 지점을 반드시 점검해야 합니다.
x=0에서의 좌미분계수와 우미분계수를 각각 구해 보세요. 둘 다 −2가 나오면 미분가능이고, 그때부터 마음 놓고 f′(x)를 써도 됩니다.
힌트 3 — 조각마다 따로 세기
f′(x)=2x−2 (x ≥ 0), f′(x)=−2x−2 (x < 0)입니다. 각각을 3/5와 놓고 푸세요.
그리고 마지막 관문: 나온 c가 (ⅰ)자기 조각의 범위를 만족하는지, (ⅱ)열린구간 (−2, 3) 안에 있는지 두 번 확인해야 합니다. 여기서 걸러지는 값이 있다면 개수가 달라집니다.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 ②  c는 13/10, −13/10 의 2개

쎈 미적분1 0474번 해설 1
쎈 미적분1 0474번 해설 2

더 빠른 길 — 그림으로 세기

개수만 묻고 있으므로 계산 없이도 답이 보입니다. 완전제곱으로 바꾸면 f(x)=(x−1)² (x ≥ 0), f(x)=−(x+1)²+2 (x < 0)이고, 그래프는 왼쪽에 위로 볼록한 봉우리, 오른쪽에 아래로 볼록한 골이 이어진 모양입니다.
여기에 두 점 (−2, 1), (3, 4)를 잇는 직선과 평행한 접선을 그어 보면 왼쪽 봉우리에 1개, 오른쪽 골에 1개, 모두 2개가 그어집니다. 접점의 x좌표가 곧 c이므로 답은 2개입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(−2)를 x ≥ 0 쪽 식에 넣는다
    −2는 x < 0이므로 −x²−2x+1을 써서 f(−2)=1입니다. x²−2x+1에 넣으면 9가 나오고, 기울기가 −1이 되어 이후 계산이 전부 어긋납니다.
  • x=0에서 미분가능한지 확인하지 않고 넘어간다
    조각함수에서 평균값 정리를 쓰려면 이음매 점검이 먼저입니다. 좌·우 미분계수가 모두 −2로 같아 미분가능하다는 한 줄이 이 풀이의 전제입니다. 서술형이면 이 줄이 배점입니다.
  • 구한 c가 그 조각의 범위에 있는지 확인하지 않는다
    2c−2=3/5에서 나온 c=13/10은 x ≥ 0에서 나왔으니 유효, −2c−2=3/5에서 나온 c=−13/10은 x < 0에서 나왔으니 유효합니다. 부호가 반대로 나온 값은 그 조각에 존재하지 않으므로 버려야 합니다.
  • ‘적어도 하나’를 ‘정확히 하나’로 읽는다
    평균값 정리는 존재만 보장할 뿐 개수는 말해 주지 않습니다. 하나 찾았다고 멈추면 ①로 끝납니다. 조각이 둘이면 방정식도 둘입니다.
  • c가 열린구간 (−2, 3) 안인지 보지 않는다
    c는 끝점이 될 수 없습니다. ±13/10은 모두 −2와 3 사이이므로 이번엔 통과하지만, 구간이 조금만 좁아도 탈락하는 값이 생깁니다. 마지막에 한 번 대조하세요.


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