쎈미적분1 0473

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 18 평균값 정리; 그래프를 이용하는 경우

0473
난이도 하
평균값 정리
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쎈 미적분1 0473번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

주어진 등식이 곧 평균값 정리 그 자체임을 알아보라는 문제

구간의 끝이 −1, 4 같은 숫자가 아니라 α, β라는 문자로 바뀌었을 뿐입니다. 좌변은 두 점 (α, f(α)), (β, f(β))를 잇는 직선의 기울기, 우변은 x=c에서의 접선의 기울기입니다. α, β의 값은 끝까지 필요하지 않습니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 식을 말로 바꾸기
α와 β의 값을 구하려 하고 있다면 멈추세요. 그래프에서 읽을 수 없는 값이고, 읽을 필요도 없습니다.
좌변 {f(β)−f(α)}/(β−α)는 두 점을 잇는 직선의 기울기, 우변 f′(c)는 x=c에서 접선의 기울기입니다. 그럼 이 등식은 무엇을 요구하는 걸까요?
힌트 2 — 직선을 긋고 부호부터 보기
그림 위에 (α, f(α))와 (β, f(β))를 잇는 직선을 직접 그으세요. 이 그래프에서는 오른쪽으로 올라가는 직선, 즉 기울기가 양수입니다.
앞 문항(0472)과 부호가 반대라는 점을 확인하세요. 세야 할 위치가 달라집니다.
힌트 3 — 자를 평행하게 밀기
그은 직선을 기울기를 유지한 채 위아래로 밀면서, 곡선에 접하는 순간을 세면 됩니다. 기울기가 양수이므로 접점은 곡선이 올라가는 부분에서 나옵니다.
중간에 완만하게 올라가다 잠깐 주춤하는 구간이 있습니다. 그 부근에서 접점 두 개가 몰려 있으니 놓치지 마세요. 조건 α<c<β도 다시 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

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정답 4

쎈 미적분1 0473번 해설

다르게 보는 법 — 도함수 그래프로 세기

할선의 기울기를 m이라 하면, 구하는 c의 개수는 y=f′(x)의 그래프와 수평선 y=m의 교점 개수와 같습니다. f′(x)는 곡선이 올라갈 때 양수, 내려갈 때 음수, 극값에서 0이므로 그 개형을 대충 그려 y=m과 몇 번 만나는지 세면 접선을 그리지 않고도 검산됩니다.
m>0인 이 문제에서는 감소구간이 통째로 후보에서 빠진다는 점이 핵심입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • α, β가 문자라서 못 푼다고 판단한다
    값이 필요한 문제가 아닙니다. 문자가 나오면 “값을 구한다”가 아니라 “그 두 점을 잇는 직선을 긋는다”가 기본 반응이어야 합니다.
  • 앞 문항과 같은 방식이니 답도 비슷하겠다고 넘긴다
    0472는 할선의 기울기가 음수, 이 문제는 양수입니다. 부호가 반대면 접점이 생기는 구간 자체가 달라집니다. 매번 직선을 새로 그으세요.
  • 극값에서만 접선을 찾는다
    f′(c)=0인 점을 세는 문제가 아닙니다. 기울기가 양수인 접선을 찾아야 하므로, 극대·극소점은 답이 될 수 없습니다.
  • 완만한 구간에 몰려 있는 접점을 하나로 센다
    곡선이 잠깐 평평해졌다 다시 올라가는 부분에서는 같은 기울기의 접선이 두 번 나옵니다. 이 구간을 크게 그려 보고 세세요.
  • 단서 α<c<β를 흘려 읽는다
    끝점 x=α, x=β는 개수에서 제외입니다. 문제가 굳이 이 조건을 단 이유가 있습니다.


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