쎈미적분1 0472

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 18 평균값 정리; 그래프를 이용하는 경우

0472
대표문제
평균값 정리
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쎈 미적분1 0472번 문제

문제를 읽자마자

출제의도

평균값 정리를 계산이 아니라 그림으로 읽어, 평행한 접선의 개수를 세라는 문제

f(x)의 식이 주어지지 않았습니다. 그러니 f′(c)를 계산해서 풀라는 문제가 아닙니다. 양 끝점 (−1, f(−1)), (4, f(4))를 잇는 직선을 긋고, 그 직선과 평행한 접선이 몇 개 그어지는지 세는 것이 전부입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — c의 정체부터 말로 바꾸기
평균값 정리에서 c가 만족하는 식은 f′(c) = {f(4) − f(−1)} / {4 − (−1)}입니다.
좌변은 x=c에서의 접선의 기울기, 우변은 두 끝점을 잇는 직선의 기울기입니다. 그럼 c는 그래프에서 어떤 점의 x좌표일까요?
힌트 2 — 직선을 실제로 긋기
눈으로만 보지 말고 그림 위에 (−1, f(−1))과 (4, f(4))를 잇는 직선을 직접 그으세요. 이 그래프에서는 오른쪽으로 내려가는 직선이 됩니다.
기울기가 음수라는 것을 확인했으면, 곡선에서 이 기울기가 나올 만한 곳이 어디인지 보입니다.
힌트 3 — 자를 평행하게 밀기
그은 직선 위에 자나 연필을 올려놓고 기울기를 유지한 채 위아래로 평행이동시켜 보세요. 곡선에 살짝 닿는(접하는) 순간마다 c가 하나씩 생깁니다.
단, 접점의 x좌표가 열린구간 (−1, 4) 안에 있는 것만 셉니다. 감소하는 구간이 여러 번 나온다는 점에 주의하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 5

쎈 미적분1 0472번 해설

다르게 보는 법 — 도함수 그래프로 세기

두 끝점을 잇는 직선의 기울기를 m이라 하면, 구하는 c의 개수는 곡선 y=f′(x)와 수평선 y=m의 교점 개수와 같습니다. 접선을 하나씩 그려 세는 것이 불안하다면 이 관점으로 검산하세요.
참고로 f(−1)=f(4)였다면 m=0이 되어 f′(c)=0인 점을 세는 롤의 정리 문제가 됩니다. 평균값 정리는 그 기울어진 버전입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • c가 하나뿐이라고 생각한다
    평균값 정리는 “적어도 하나 존재한다”만 보장합니다. 몇 개인지는 그래프가 결정합니다. 정리의 문장을 개수 보장으로 읽지 마세요.
  • 할선을 긋지 않고 눈대중으로 센다
    이 유형은 그리는 문제입니다. 두 끝점을 잇는 직선을 반드시 그린 뒤, 자를 평행하게 밀면서 세야 개수가 흔들리지 않습니다.
  • 기울기가 0인 접선만 찾는다
    롤의 정리와 혼동한 경우입니다. 여기서는 할선의 기울기가 음수이므로, 극대·극소점은 답이 아닙니다.
  • x=−1, x=4에서의 접선까지 센다
    c는 열린구간 (−1, 4)에 있어야 합니다. 끝점에서 기울기가 같아 보여도 세지 않습니다.
  • 접하는 것과 만나는 것을 구별하지 않는다
    세는 대상은 곡선과 접하는 직선이지, 곡선을 가로지르는 직선이 아닙니다. 반대로 접선이 곡선의 다른 부분과 또 만나도 상관없습니다.


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