쎈미적분1 0471

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 롤의 정리와 평균값 정리

0471
난이도 상
평균값 정리의 θ
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쎈 미적분1 0471번 문제

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출제의도

평균값 정리의 c를 a+θh 꼴로 바꿔 놓고, θ를 h의 식으로 풀라는 문제

구간 [a, a+h]에서 평균값 정리를 쓰면 c는 a와 a+h 사이에 있고, 이를 c=a+θh (0<θ<1)로 표현한 것이 주어진 식입니다. f(x)=x³이라는 구체적인 식이 있으므로 양변을 전개하면 θ에 대한 방정식이 나옵니다. 즉 이 문제는 정리를 쓰는 문제가 아니라, 정리가 만들어 낸 c의 위치를 끝까지 추적하는 문제입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
θ가 무엇인지 의미를 고민하기 전에, 손을 먼저 움직이세요. f(x)=x³, f′(x)=3x²를 주어진 식에 그대로 대입하면 됩니다.
(a+h)³ = a³ + h·3(a+θh)². 좌변과 우변을 모두 전개해서 a³을 소거하는 것이 첫 걸음입니다.
힌트 2 — h로 나누기
전개하면 3a²h + 3ah² + h³ = 3a²h + 6aθh² + 3θ²h³ 이 됩니다. 양변에서 3a²h가 사라지고, h>0이므로 양변을 h²으로 나눌 수 있습니다.
남는 식은 3a + h = 6aθ + 3θ²h. θ에 대한 이차방정식으로 정리해 보세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
3hθ² + 6aθ − 3a − h = 0을 근의 공식으로 풀면 θ = {−3a + √(9a²+9ah+3h²)} / (3h) 입니다. θ>0이므로 부호는 +만 취합니다.
h→0을 그대로 넣으면 0/0 꼴이 됩니다. 분자를 유리화하여 h를 약분한 뒤 극한을 계산하세요.

다 풀고 나서

해설

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정답 ④  1/2

쎈 미적분1 0471번 해설 (1)
쎈 미적분1 0471번 해설 (2)

더 빠른 길 — 근의 공식 없이 끝내기

3hθ² + 6aθ − 3a − h = 0에서 θ가 있는 항만 묶으면 θ(6a + 3θh) = 3a + h, 즉 θ = (3a+h) / (6a+3θh)입니다.
0<θ<1이므로 0<3θh<3h이고, h→0이면 3θh→0입니다. 따라서 θ → 3a/6a = 1/2. 근의 공식도 유리화도 필요 없습니다.
참고로 이 결과는 f(x)=x³이라서 나온 것이 아닙니다. f″(a)≠0인 매끄러운 함수라면 언제나 θ→1/2이며, “구간이 짧아지면 평균값 정리의 c는 구간의 한가운데로 간다”는 뜻입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f′(a+θh)를 f′(a)+θh로 쓴다
    f′의 입력이 a+θh입니다. f′(x)=3x²에 x=a+θh를 넣어 3(a+θh)²이 되어야 합니다. 이 자리를 틀리면 이후 계산이 전부 무너집니다.
  • (a+θh)²을 a²+θ²h²으로 전개한다
    교차항 2aθh가 빠집니다. θ의 일차항이 사라지면 방정식 자체가 달라집니다. 곱셈공식은 문자에 θ가 섞여도 그대로입니다.
  • h로 한 번만 나누고 멈춘다
    a³과 3a²h를 소거하면 남는 모든 항에 h²이 들어 있습니다. h²으로 나눠야 3a+h=6aθ+3θ²h라는 깔끔한 식이 나옵니다. h>0이라는 단서가 나눠도 된다는 근거입니다.
  • 근의 공식에서 부호 −를 함께 남긴다
    θ>0이므로 −3a−√(…) 쪽은 버려야 합니다. 두 근을 다 들고 가면 극한값이 두 개로 갈라집니다.
  • h→0을 그대로 대입해 0으로 답한다
    분자·분모가 모두 0이 되는 0/0 꼴입니다. 유리화 또는 위의 ‘더 빠른 길’로 h를 약분한 뒤에 대입해야 합니다.
  • a가 답에 남는지 확인하지 않는다
    최종값은 3a/(3a+3a)=1/2로 a가 약분되어 사라집니다. 답에 a가 남아 있다면 계산 중 어딘가에서 항이 하나 빠진 것입니다.


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