쎈미적분1 0470

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 롤의 정리와 평균값 정리

0470
난이도 상
평균값 정리 · 극한
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쎈 미적분1 0470번 문제

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출제의도

두 함숫값의 차를 도함수의 극한으로 갈아 끼우라는 문제

f의 식은 주어지지 않았고, 알고 있는 것은 f′의 무한대에서의 극한뿐입니다. f(x+4)−f(x−4)라는 ‘차’를 f′과 연결해 주는 도구는 평균값 정리 하나뿐입니다. 구간 [x−4, x+4]에 정리를 적용해 차를 8f′(c)로 바꾸는 순간, 문제는 f′의 극한 계산으로 끝납니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 방향부터 잡기
f(x)=3x+k처럼 조건에 맞는 함수를 하나 만들어 대입하려 하고 있다면, 그것은 답을 찍는 방법이지 푸는 방법이 아닙니다.
구해야 하는 것은 f(x+4)−f(x−4), 즉 두 함숫값의 차입니다. 주어진 정보는 f′에 관한 것뿐입니다. 차를 f′으로 바꿔 주는 정리가 무엇인지 떠올리세요.
힌트 2 — 구간을 잡아 보기
평균값 정리를 쓰려면 구간이 필요합니다. 양 끝을 x−4와 x+4로 잡으세요. f는 모든 실수에서 미분가능하므로 조건은 자동으로 만족됩니다.
이때 {f(x+4)−f(x−4)} / {(x+4)−(x−4)} = f′(c)인 c가 존재합니다. 분모가 얼마인지 정확히 계산해 두세요.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
위 식을 정리하면 f(x+4)−f(x−4) = 8f′(c)입니다. 이제 x→∞를 취하면 되는데, 극한을 취하는 변수는 x이고 식에 남은 것은 c입니다.
c는 x−4와 x+4 사이에 끼어 있습니다. x→∞이면 c는 어디로 갈까요? 그 다음에 lim f′(x)=3을 쓰세요.

다 풀고 나서

해설

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정답 24

쎈 미적분1 0470번 해설

구조로 외워 두기 — 폭 × 기울기

평균값 정리는 “함숫값의 차 = 구간의 폭 × 그 구간 어딘가의 순간변화율”로 읽으면 됩니다. 여기서 폭은 (x+4)−(x−4)=8로 x와 무관한 상수이고, 기울기는 x→∞에서 3으로 수렴합니다.
그래서 답은 8×3=24. 폭이 8이 아니라 2k였다면 답은 2k×3이 됩니다. 숫자만 바꾼 문제가 나와도 이 한 줄로 끝납니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 구간의 폭을 4로 잡는다
    (x+4)−(x−4)는 4가 아니라 8입니다. 여기서 답이 12로 나오는 오답이 가장 많습니다. 뺄셈을 눈으로 하지 말고 한 줄 적어서 계산하세요.
  • x→∞일 때 c→∞임을 언급하지 않는다
    x−4 < c < x+4에서 양 끝이 모두 ∞로 가므로 c도 ∞로 갑니다. 이 한 줄이 있어야 lim f′(c)=3을 쓸 수 있습니다. 서술형 채점의 핵심 문장입니다.
  • f′(c)를 상수 3으로 곧바로 바꾼다
    f′(c)=3인 것이 아니라, c→∞일 때 f′(c)→3입니다. 등호로 적으면 논리가 무너집니다.
  • f를 일차함수라고 가정해 버린다
    lim f′(x)=3은 f′이 상수 3이라는 뜻이 아닙니다. f′(x)=3+1/x 같은 함수도 조건을 만족합니다. 특정 함수로 좁히는 순간 풀이가 아니라 추측이 됩니다.
  • 평균값 정리 대신 극한 정의로 밀어붙인다
    f(x+4)−f(x−4)는 x가 아니라 x±4에서의 값이라 도함수의 정의로는 연결되지 않습니다. ‘두 점의 함숫값 차’가 보이면 평균값 정리를 먼저 떠올리세요.


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