쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 롤의 정리와 평균값 정리
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문제를 읽자마자
출제의도
세 함숫값만 보고 롤이냐 평균값이냐를 골라 쓰라는 문제
f(x)가 다항함수라는 한 줄이 이 문제의 절반입니다. 다항함수는 어떤 닫힌구간에서도 연속이고 어떤 열린구간에서도 미분가능하므로, 정리를 쓰기 위한 조건 확인은 이미 끝난 상태입니다. 남은 판단은 하나뿐입니다. 양 끝 함숫값이 같으면 롤의 정리, 다르면 평균값 정리입니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 방향부터 잡기
f(x)가 어떤 함수인지 알아내려 하고 있다면 멈추세요. f의 식은 끝까지 구할 수 없고, 구할 필요도 없습니다.
주어진 세 값 f(1)=4, f(2)=−2, f(5)=4를 좌표평면 위 세 점으로 적어 두고, ㄱ·ㄴ·ㄷ이 각각 어느 구간의 양 끝을 쓰고 있는지부터 표시하세요.
주어진 세 값 f(1)=4, f(2)=−2, f(5)=4를 좌표평면 위 세 점으로 적어 두고, ㄱ·ㄴ·ㄷ이 각각 어느 구간의 양 끝을 쓰고 있는지부터 표시하세요.
힌트 2 — 같으면 롤, 다르면 평균값
ㄱ은 구간 (1, 5)를 말합니다. 양 끝은 f(1)=4, f(5)=4로 서로 같습니다. 이때 쓰는 정리는 무엇인가요?
ㄴ은 구간 (2, 5)이고 양 끝은 −2와 4로 다릅니다. 이 경우 평균변화율 {f(5)−f(2)}/(5−2)를 먼저 계산해 보세요. 그 값이 ㄴ이 말하는 2와 일치하는지가 전부입니다.
ㄴ은 구간 (2, 5)이고 양 끝은 −2와 4로 다릅니다. 이 경우 평균변화율 {f(5)−f(2)}/(5−2)를 먼저 계산해 보세요. 그 값이 ㄴ이 말하는 2와 일치하는지가 전부입니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
ㄷ은 새 함수 g(x)=f(x)+6x입니다. 여기서도 순서는 똑같습니다. g(1)과 g(2)를 직접 계산해 보세요.
g(1)=4+6, g(2)=−2+12. 두 값이 같다면 g에 대해 롤의 정리를 그대로 쓸 수 있습니다. g도 다항함수이므로 연속·미분가능 조건은 따질 것이 없습니다.
g(1)=4+6, g(2)=−2+12. 두 값이 같다면 g에 대해 롤의 정리를 그대로 쓸 수 있습니다. g도 다항함수이므로 연속·미분가능 조건은 따질 것이 없습니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
다른 접근 — ㄷ을 f의 언어로 바꿔 읽기
g(x)=f(x)+6x에서 g′(x)=f′(x)+6이므로, g′(c₃)=0은 곧 f′(c₃)=−6입니다.
구간 [1, 2]에서 평균값 정리를 쓰면 {f(2)−f(1)}/(2−1) = (−2−4)/1 = −6 = f′(c₃)인 c₃이 (1, 2)에 존재합니다. 롤을 g에 쓰든, 평균값 정리를 f에 쓰든 결론은 같습니다. 두 정리가 사실 한 정리라는 것을 보여 주는 자리입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
f(2)=−2를 ㄱ에 끌어와 헷갈린다
ㄱ이 쓰는 구간은 (1, 5)이고, 필요한 것은 양 끝 f(1)과 f(5)뿐입니다. 구간 안쪽 값은 롤의 정리와 아무 상관이 없습니다. -
연속·미분가능 조건을 안 적고 넘어간다
답은 맞아도 서술형에서는 감점 포인트입니다. “다항함수이므로 [a, b]에서 연속, (a, b)에서 미분가능”을 한 줄로 먼저 쓰는 습관을 들이세요. -
구간 표기를 닫힌·열린으로 섞어 쓴다
연속은 닫힌구간, 미분가능과 c의 존재는 열린구간입니다. c가 양 끝점일 수 있다고 쓰면 틀린 서술이 됩니다. -
ㄴ에서 분모를 3이 아닌 다른 값으로 쓴다
구간 [2, 5]의 평균변화율은 {4−(−2)}/(5−2)입니다. −2를 빼는 부호와 분모 3을 동시에 틀리면 값이 2가 아닌 엉뚱한 수로 나옵니다. -
ㄷ에서 g의 함숫값을 계산하지 않고 감으로 판단한다
g(1)=10, g(2)=10을 직접 적어야 롤의 정리가 성립함이 보입니다. f(1)≠f(2)라는 이유로 ㄷ을 거짓이라 찍는 오답이 가장 많습니다.
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