쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 17 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우
0467
난이도 하
서술형
평균값 정리
풀이영상 있음
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평균값 정리
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풀이영상
함수 f(x) = −x² + 5x + 1에 대하여 닫힌구간 [1, k]에서 평균값 정리를 만족시키는 상수가 4일 때, k의 값을 구하시오. (단, k > 4)
문제를 읽자마자
출제의도
“평균값 정리를 만족시키는 상수”가 곧 c의 값임을 알아채고, c 자리에 4를 넣는 문제
배점 구조를 보면 의도가 분명합니다. {f(k)−f(1)}/(k−1) = f′(4)라는 식을 세우는 데 70%, 그 방정식을 푸는 데 30%. 즉 계산력이 아니라 정리를 정확히 옮겨 적는 능력을 채점하겠다는 뜻입니다. 서술형이므로 이 식을 세운 근거 문장을 반드시 적어야 합니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — “상수 4″의 정체
평균값 정리에서 존재가 보장되는 그 값, 보통 c라고 쓰는 값이 바로 여기서 말하는 “상수”입니다. 구간의 끝이 아닙니다.
즉 이 문제는 c=4인 상황을 준 것이고, 모르는 값은 오히려 구간의 오른쪽 끝 k입니다.
즉 이 문제는 c=4인 상황을 준 것이고, 모르는 값은 오히려 구간의 오른쪽 끝 k입니다.
힌트 2 — 양변을 따로 계산
좌변: f(1) = −1+5+1 = 5이므로 {f(k)−5} / (k−1).
우변: f′(x) = −2x+5이므로 f′(4) = −8+5 = −3.
f(k)는 그대로 −k²+5k+1로 두고 대입하면 됩니다.
우변: f′(x) = −2x+5이므로 f′(4) = −8+5 = −3.
f(k)는 그대로 −k²+5k+1로 두고 대입하면 됩니다.
힌트 3 — 이차방정식과 조건
양변에 (k−1)을 곱하면 −k²+5k−4 = −3(k−1), 정리하면 k²−8k+7=0.
인수분해하면 (k−1)(k−7)=0이므로 k=1 또는 k=7. 여기서 k>4라는 단서를 쓰세요. k=1이면 구간 [1, 1]이 되어 애초에 성립하지 않습니다.
인수분해하면 (k−1)(k−7)=0이므로 k=1 또는 k=7. 여기서 k>4라는 단서를 쓰세요. k=1이면 구간 [1, 1]이 되어 애초에 성립하지 않습니다.
다 풀고 나서
해설
정답·해설 펼치기
정답 7
더 빠른 길 — 이차함수의 c는 항상 중점
f(x)가 이차함수이면 [a, b]에서 평균값 정리의 c는 언제나 구간의 중점 (a+b)/2입니다. 이 문제에 그대로 쓰면 (1+k)/2 = 4에서 k=7. 검산용으로 강력하지만, 서술형 답안에는 이 성질을 근거 없이 쓰면 위험하니 정석 풀이를 적고 이 방법으로 확인만 하세요.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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“상수 4″를 구간의 끝이나 함숫값으로 읽는다
평균값 정리 문장에서 존재를 주장하는 대상은 c 하나뿐입니다. 그 자리에 4를 넣는 것이 이 문제의 출발점입니다. k=4로 착각하면 문제 자체가 사라집니다. -
f′(4) 대신 f(4)를 대입한다
우변은 도함수 값입니다. f(4)=13이고 f′(4)=−3으로 전혀 다릅니다. 프라임 기호를 놓치면 방정식이 통째로 바뀝니다. -
식을 세운 근거를 쓰지 않고 계산만 나열한다
이 문항은 식을 세우는 데 배점의 70%가 걸려 있습니다. “f(x)는 다항함수이므로 [1, k]에서 연속이고 (1, k)에서 미분가능하다”와 “평균값 정리에 의하여” 두 문장을 반드시 적으세요. -
k=1을 답에 함께 남긴다
(k−1)(k−7)=0의 근 중 k=1은 분모를 0으로 만들고 구간도 성립시키지 못합니다. 단서 k>4가 붙은 이유가 이것입니다. 두 근 중 하나를 버리는 이유를 답안에 한 줄로 적으면 안전합니다. -
양변에 (k−1)을 곱할 때 부호를 흘린다
우변 −3(k−1)의 괄호를 풀면 −3k+3입니다. 이 부호를 놓치면 k²−2k−1=0 같은 인수분해되지 않는 식이 나옵니다. 깔끔하게 인수분해되지 않으면 이 단계를 다시 보세요.
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