쎈미적분1 0466

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 17 평균값 정리; 정의를 이용하는 경우

0466
대표 문제
평균값 정리
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풀이영상

함수 f(x) = x³ − 2x에 대하여 닫힌구간 [−2, 2]에서 평균값 정리를 만족시키는 모든 상수 c의 값의 곱을 구하시오.

문제를 읽자마자

출제의도

평균값 정리를 c에 대한 방정식으로 바꿔 쓸 수 있는지만 묻는 문제

이 유형은 정리를 “정의대로” 옮겨 적는 것이 전부입니다. {f(b)−f(a)}/(b−a)=f′(c)에서 왼쪽은 숫자 한 개, 오른쪽은 c에 대한 식. 등호로 이으면 이차방정식이 나오고, 문제가 요구한 것은 그 두 근의 곱입니다. 근을 굳이 구하지 않아도 되는 구조라는 점이 이 문항의 노림수입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 식부터 그대로 쓰기
a=−2, b=2입니다. 평균값 정리의 결론을 {f(2)−f(−2)} / {2−(−2)} = f′(c) 형태로 먼저 적어 놓으세요.
다항함수이므로 [−2, 2]에서 연속·(−2, 2)에서 미분가능이라는 전제는 자동으로 만족합니다.
힌트 2 — 양변 계산
f(2)=8−4=4, f(−2)=−8+4=−4입니다. 좌변은 {4−(−4)} / 4.
우변은 f′(x)=3x²−2이므로 f′(c)=3c²−2. 이제 등식 하나만 남습니다.
힌트 3 — 근을 구하지 말 것
3c²−2=2에서 3c²−4=0이 됩니다.
두 근의 곱은 근과 계수의 관계로 (상수항)/(이차항 계수) = −4/3. c=±2/√3을 일일이 구해 곱해도 되지만, 유리화 과정에서 실수가 나오기 쉽습니다.

다 풀고 나서

해설

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정답 −4/3

쎈 미적분1 0466번 해설

더 빠른 길 — 근과 계수의 관계

정리하면 3c²−4=0. 두 근을 c₁, c₂라 하면 c₁c₂ = −4/3으로 한 줄에 끝납니다. 무리수를 계산기 없이 곱하는 과정을 통째로 건너뛸 수 있고, “모든 c의 곱/합”을 묻는 문항은 대부분 이 방식이 정석입니다. 다만 두 근이 실제로 구간 (−2, 2) 안에 있는지는 따로 확인해야 합니다. 2/√3 ≈ 1.15이므로 둘 다 구간 안입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • 분모 b−a를 2로 쓴다
    구간이 [−2, 2]이므로 b−a = 2−(−2) = 4입니다. 끝값 2만 보고 분모에 2를 적는 실수가 가장 흔합니다. 좌변이 4가 되어 3c²=6, 엉뚱한 답이 나옵니다.
  • f(−2) 계산에서 부호를 놓친다
    f(−2)=(−2)³−2(−2)=−8+4=−4. 세제곱과 −2x의 부호가 동시에 바뀌므로 한쪽만 바꾸면 값이 틀립니다. 홀함수임을 알면 f(−2)=−f(2)로 검산할 수 있습니다.
  • c를 하나만 답으로 쓴다
    3c²=4는 제곱 방정식이라 근이 두 개입니다. c = −2/√3 또는 2/√3. 문제도 “모든 상수 c”라고 못 박았습니다.
  • 곱 대신 합을 구한다
    두 근의 합은 0이라 딱 떨어져 보이지만, 문제가 요구한 것은 곱입니다. 구한 뒤 문제 문장을 한 번 더 읽고 “곱”에 밑줄을 치세요.
  • 구한 c가 열린구간 안인지 확인하지 않는다
    평균값 정리의 c는 (a, b) 안에 있어야 합니다. 이 문제는 둘 다 안에 들어오지만, 구간이 좁은 문항에서는 근 하나가 밖으로 나가 답이 달라집니다. 확인하는 습관을 들이세요.


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