쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 롤의 정리와 평균값 정리
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롤의 정리
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문제를 읽자마자
출제의도
롤의 정리를 쓰는 문제가 아니라, 롤의 정리가 성립하도록 k를 정하는 문제
보통은 조건이 다 주어진 상태에서 c를 찾습니다. 이 문제는 반대로 미정계수 k가 섞여 있습니다. 다항함수라 연속·미분가능은 그냥 성립하므로, 남는 조건은 f(1)=f(3) 하나뿐입니다. 그 한 줄이 k를 결정하고, k가 정해진 뒤에야 f′(c)=0을 풀 수 있습니다. 순서를 뒤집으면 답이 안 나옵니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 무엇부터 정해야 하나
바로 f′(c)=0을 풀고 있다면 멈추세요. f′(x)=k−2x이므로 c=k/2까지밖에 나오지 않습니다. k를 모르면 c도 모릅니다.
롤의 정리의 세 조건 중 다항함수라서 자동으로 만족되는 것과, k를 정해 줘야 만족되는 것을 구분해 보세요.
롤의 정리의 세 조건 중 다항함수라서 자동으로 만족되는 것과, k를 정해 줘야 만족되는 것을 구분해 보세요.
힌트 2 — 남은 조건은 하나
닫힌구간 [1, 3]에서 연속, 열린구간 (1, 3)에서 미분가능은 다항함수라 그냥 성립합니다. 남은 건 f(1)=f(3).
f(1)=k−1, f(3)=3k−9입니다. 이 둘을 같다고 놓으면 k가 나옵니다.
f(1)=k−1, f(3)=3k−9입니다. 이 둘을 같다고 놓으면 k가 나옵니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
k=4를 대입하면 f(x)=4x−x², f′(x)=4−2x입니다. f′(c)=0을 풀고, 그 c가 열린구간 (1, 3) 안에 실제로 들어 있는지 확인하세요.
선지가 대부분 분수라 정수 답이 나오면 의심하게 되는데, 이 문제는 정수가 맞습니다.
선지가 대부분 분수라 정수 답이 나오면 의심하게 되는데, 이 문제는 정수가 맞습니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 ③ c = 2
풀이영상
더 빠른 길 — 대칭축으로 끝내기
f(x)=−x²+kx는 위로 볼록한 이차함수이고, 대칭축은 x=k/2입니다. f(1)=f(3)이 되려면 축이 두 값의 한가운데, 즉 x=2에 있어야 하므로 k/2=2, k=4.
그런데 롤의 정리의 c는 접선이 수평이 되는 점, 곧 꼭짓점의 x좌표 = 대칭축입니다. 따라서 미분 없이 c=2. 이차함수에서 롤의 c는 언제나 대칭축입니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
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k를 구하지 않고 f′(c)=0부터 푼다
c=k/2에서 막힙니다. 미정계수가 보이면 “값을 먼저 확정한다”가 순서입니다. 이 문제에서 k를 정해 주는 유일한 조건은 f(1)=f(3)입니다. -
f(3)을 3k−3으로 계산한다
f(3)=3k−3²=3k−9입니다. −x²에 x=3을 넣으면 −9입니다. k−1=3k−9에서 k=4가 나오는지 다시 확인하세요. -
연속·미분가능 조건을 아예 언급하지 않는다
객관식이라면 넘어가도 되지만, 같은 유형이 서술형으로 나오면 “다항함수이므로 [1, 3]에서 연속이고 (1, 3)에서 미분가능하다” 한 줄이 배점에 들어갑니다. -
구한 c가 열린구간 안에 있는지 확인하지 않는다
롤의 정리가 보장하는 c는 열린구간 (1, 3) 안의 값입니다. c=2는 1<2<3이므로 조건을 만족합니다. 이 확인을 습관으로 만들어야 끝점이 답으로 나오는 문제에서 걸리지 않습니다. -
선지가 분수뿐이라 정수 답을 의심해 고친다
①④⑤가 모두 분모 3인 분수라 c=2가 어색해 보이지만, 대칭축 논리로 검산하면 2가 확실합니다. 선지 모양이 아니라 검산으로 판단하세요.