쎈미적분1 0461

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 16 롤의 정리

0461
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롤의 정리
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함수 f(x) = (x + 1)²(x − 2)에 대하여 닫힌구간 [−√3, √3]에서 롤의 정리를 만족시키는 모든 상수 c의 값의 합은?

① −2② −1③ 0④ 1⑤ 2

문제를 읽자마자

출제의도

롤의 정리는 c를 구하는 공식이 아니라 조건을 확인하는 정리

계산은 f′(c) = 0을 푸는 것으로 끝나지만, 그 전에 ① 닫힌구간에서 연속 ② 열린구간에서 미분가능 ③ f(−√3) = f(√3) 세 가지를 확인하는 것이 이 유형의 본체입니다. 특히 “모든 c의 합”이라는 표현은 c가 하나가 아닐 수 있다는 힌트입니다. 롤의 정리는 “적어도 하나”만 보장합니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 먼저 전개하라
(x + 1)²(x − 2) 상태로는 −√3을 대입하기가 번거롭습니다. 전개하면 f(x) = x³ − 3x − 2.
다항함수이므로 연속·미분가능은 자동으로 성립합니다. 남은 조건은 하나뿐인데, 그게 무엇일까요?
힌트 2 — 양 끝 값 비교
f(−√3) = −3√3 + 3√3 − 2 = −2, f(√3) = 3√3 − 3√3 − 2 = −2. 두 값이 같으므로 롤의 정리를 쓸 수 있습니다.
√3의 세제곱이 3√3이라는 점만 조심하면 두 값이 깔끔하게 −2로 맞아떨어집니다.
힌트 3 — 마지막 한 걸음
f′(x) = 3x² − 3이므로 f′(c) = 3(c + 1)(c − 1) = 0에서 c = −1 또는 c = 1.
두 값 모두 열린구간 (−√3, √3) 안에 있는지 확인하세요(√3 ≈ 1.73). 그다음 묻는 것이 c가 아니라 c의 합임을 다시 읽으세요.

다 풀고 나서

해설

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정답 ③  0  (c = −1, 1)

쎈 미적분1 0461번 해설 1
쎈 미적분1 0461번 해설 2

전개하지 않는 길, 그리고 합만 읽는 길

곱의 미분으로도 같은 결과가 나옵니다. f′(x) = 2(x + 1)(x − 2) + (x + 1)² = (x + 1){2(x − 2) + (x + 1)} = 3(x + 1)(x − 1). 인수 상태로 두면 근이 −1, 1임이 곧바로 보입니다.
더 빠르게는, f′(x) = 3x² − 3이 일차항이 없는 이차식이므로 두 근의 합은 −0/3 = 0. 두 근이 모두 구간 안에 있다는 것만 확인하면 합은 계산 없이 0입니다.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • f(−√3) = f(√3) 확인을 건너뛴다
    이 등식이 성립하지 않으면 롤의 정리 자체를 쓸 수 없습니다. 계산이 아니라 적용 자격을 따지는 줄이라 서술형에서는 배점이 붙습니다.
  • c를 하나만 찾고 멈춘다
    롤의 정리는 “적어도 하나”를 보장할 뿐, 하나뿐이라고 하지 않습니다. f′(c) = 0의 근을 모두 구해야 합니다.
  • 구간에 속하는지 확인하지 않는다
    √3 ≈ 1.73이므로 −1, 1은 모두 (−√3, √3) 안입니다. 구간이 예를 들어 (0, √3)이었다면 c = −1은 버려야 합니다.
  • √3의 세제곱을 3으로 계산한다
    (√3)³ = 3√3입니다. 3으로 잘못 쓰면 f(−√3) ≠ f(√3)이 되어 “정리를 못 쓴다”는 엉뚱한 결론으로 갑니다.
  • 닫힌구간과 열린구간을 바꿔 쓴다
    연속은 닫힌구간 [−√3, √3], 미분가능은 열린구간 (−√3, √3), c도 열린구간에서 찾습니다. 서술형에서 괄호 모양이 곧 감점 포인트입니다.
  • c의 값을 답으로 쓴다
    묻는 것은 모든 c의 합입니다. −1 + 1 = 0까지 적어야 ③입니다.


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