쎈미적분1 0463

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쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 롤의 정리와 평균값 정리

0463
난이도 중
서술형
롤의 정리
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쎈 미적분1 0463번 문제

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문제를 읽자마자

출제의도

구간이 [−a, a]라는 것, 즉 원점 대칭이라는 점이 문제의 전부

f(−a)=f(a)를 세우면 짝수차 항(x²과 상수)은 양쪽에서 똑같이 나와 저절로 지워지고, 홀수차 항(x³과 x)만 남습니다. 여기서 a가 결정되면 구간이 (−3, 3)으로 확정되고, 그때서야 f′(c)=0의 두 근 중 하나를 골라낼 수 있습니다. 서술형이므로 a·c·a+c 세 단계가 각각 배점입니다.

막혔을 때

힌트

한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.

힌트 1 — 대칭구간이라는 신호
f는 삼차 다항함수이므로 연속·미분가능은 자동입니다. 미지수는 a 하나, 조건은 f(−a)=f(a) 하나.
양변을 전개하기 전에 이것부터 보세요. x에 −a를 넣으면 x²과 상수항은 값이 그대로이고, x³과 x만 부호가 바뀝니다. 양변에서 지워지는 항이 있습니다.
힌트 2 — a 구하기
남는 식은 −(1/3)a³ + 3a = (1/3)a³ − 3a 입니다. 정리하면 (2/3)a³ = 6a, 곧 a³ − 9a = 0.
인수분해하면 a(a+3)(a−3)=0이므로 a=0, −3, 3. 여기서 문제의 단서 “a는 자연수”를 쓰세요. (a=0이면 구간이 한 점이 되어 애초에 성립하지 않습니다.)
힌트 3 — c 고르기, 그리고 마지막 한 걸음
a=3이므로 구간은 [−3, 3], c가 존재하는 곳은 열린구간 (−3, 3)입니다.
f′(x)=x²+2x−3=(x+3)(x−1)이므로 f′(c)=0의 근은 c=−3과 c=1. 이 중 열린구간 안에 있는 건 하나뿐입니다.
답으로 요구된 것이 c가 아니라 a+c라는 것도 다시 확인하세요.

다 풀고 나서

해설과 풀이영상

정답·해설 펼치기

정답 4  (a=3, c=1)

쎈 미적분1 0463번 해설

풀이영상

더 빠른 길 — 홀수차·짝수차로 쪼개기

f(x) = {(1/3)x³ − 3x} + {x² + 5} 로 나누면, 앞은 홀함수 g(x), 뒤는 짝함수 h(x)입니다.
h(−a)=h(a)는 언제나 성립하므로 f(−a)=f(a) ⟺ g(−a)=g(a) ⟺ −g(a)=g(a) ⟺ g(a)=0.
즉 (1/3)a³ − 3a = 0, a(a²−9)=0에서 a=3. 전개 한 번 없이 끝납니다. 대칭구간에서 f(−a)=f(a)를 다룰 땐 항상 이 구조를 먼저 보세요.

서술형 채점기준

① a의 값을 구할 수 있다 — 40%
② c의 값을 구할 수 있다 — 40%
③ a+c의 값을 구할 수 있다 — 20%
답만 “4”라고 쓰면 20%만 받습니다. a=3을 얻는 과정과 c=1을 고르는 근거(−3<c<3)를 각각 문장으로 남기세요.

덮기 직전에

실수를 줄이는 전략

  • a=0이나 a=−3까지 답으로 남긴다
    a³−9a=0의 근은 셋이지만, 문제에 “a는 자연수”라고 못 박혀 있습니다. 서술형에서는 버리는 근에 대해 “∵ a는 자연수”를 괄호로 반드시 적어야 감점이 없습니다.
  • c=−3을 답으로 쓴다
    f′(c)=0의 근은 −3과 1이지만, 롤의 정리가 말하는 c는 열린구간 (−3, 3) 안의 값입니다. 끝점 −3은 제외됩니다. 근을 구한 뒤 반드시 구간과 대조하세요.
  • f(−a) 전개에서 부호를 흘린다
    f(−a) = −(1/3)a³ + a² + 3a + 5 입니다. x³은 부호가 바뀌고, x²은 그대로, −3x는 +3a가 됩니다. 세 항의 부호를 각각 짚으면서 옮겨 적으세요.
  • c까지 구하고 멈춘다
    문제가 요구한 값은 a+c입니다. a=3, c=1을 따로 적어 두고 마지막 줄에서 더하세요. 이 한 줄이 배점 20%입니다.
  • 연속·미분가능 서술을 생략한다
    서술형 첫 줄은 “f(x)는 다항함수이므로 [−a, a]에서 연속이고 (−a, a)에서 미분가능하다”입니다. 롤의 정리를 쓰려면 세 조건이 모두 확인되어야 하고, 이 문장이 없으면 정리를 적용할 근거가 사라집니다.

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