쎈수학 미적분Ⅰ · 04단원 · 유형 13 두 곡선의 교점에서의 접선
0448
대표 문제
두 곡선의 교점에서의 접선
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두 곡선의 교점에서의 접선
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문제를 읽자마자
출제의도
교점을 구하지 말고, 교점의 x좌표를 t로 놓고 조건 두 개를 t의 식으로 만들라는 문제
교점의 좌표가 주어지지 않은 것이 이 유형의 핵심입니다. 미지수는 a와 t 두 개, 조건은 “교점이다”와 “접선이 수직이다” 두 개 — 정확히 맞아떨어집니다. 유형 13의 대표 문제이므로 t로 놓고 시작하는 첫 줄이 몸에 배어야 다음 문항들이 풀립니다.
막혔을 때
힌트
한 번에 하나씩만 열어 보세요. 힌트 하나당 3분입니다.
힌트 1 — 첫 줄을 어떻게 쓸까
x²+4=−3x²+ax를 x에 대해 풀려고 하지 마세요. a가 들어 있어 근이 깔끔하게 나오지 않습니다.
교점의 x좌표를 t라 두는 것이 이 유형의 시작입니다. f(x)=x²+4, g(x)=−3x²+ax라 하면 f(t)=g(t)가 첫 번째 식입니다.
교점의 x좌표를 t라 두는 것이 이 유형의 시작입니다. f(x)=x²+4, g(x)=−3x²+ax라 하면 f(t)=g(t)가 첫 번째 식입니다.
힌트 2 — 수직 조건 옮기기
두 접선이 서로 수직이면 기울기의 곱이 −1입니다. 즉 f′(t)·g′(t)=−1.
f′(x)=2x, g′(x)=−6x+a이므로 2t(−6t+a)=−1이 두 번째 식입니다. 이제 미지수 두 개(a, t)에 식 두 개가 갖춰졌습니다.
f′(x)=2x, g′(x)=−6x+a이므로 2t(−6t+a)=−1이 두 번째 식입니다. 이제 미지수 두 개(a, t)에 식 두 개가 갖춰졌습니다.
힌트 3 — 무엇을 먼저 소거할까
a를 먼저 구하려 들면 분수가 엉킵니다. 첫 식을 at=4t²+4로 정리해 두고, 두 번째 식을 전개한 12t²−2at=1에 통째로 대입하세요. a가 한 번에 사라지고 t²에 대한 식만 남습니다.
t가 두 개 나오면 각각에 대해 a를 구한 뒤, 문제의 “양수 a”라는 조건으로 걸러야 합니다.
t가 두 개 나오면 각각에 대해 a를 구한 뒤, 문제의 “양수 a”라는 조건으로 걸러야 합니다.
다 풀고 나서
해설과 풀이영상
정답·해설 펼치기
정답 a = 26/3
계산을 줄이는 정리 — a를 t로 먼저 표현
at=4t²+4의 양변을 t로 나누면 a=4t+4/t입니다(교점이 존재하므로 t≠0).
수직 조건 2t(−6t+a)=−1을 −12t²+2at=−1로 쓰고 2at=2t(4t+4/t)=8t²+8을 그대로 넣으면 −12t²+8t²+8=−1 ⟹ 4t²=9. 대입 한 번으로 t²=9/4가 나오고, t=±3/2에서 a=±26/3, 조건 a>0으로 26/3이 남습니다.
덮기 직전에
실수를 줄이는 전략
-
교점의 좌표를 먼저 구하려 한다
a가 미지수인 상태에서 교점을 구하면 근의 공식으로 들어가 식이 폭발합니다. “교점 좌표가 안 주어졌다 = t로 놓는다”가 유형 13의 고정 반응입니다. -
수직 조건을 f′(t)=g′(t)로 쓴다
평행이면 기울기가 같고, 수직이면 곱이 −1입니다. 0447번처럼 “공통접선” 문제와 조건이 정반대이므로, 문제의 단어부터 다시 읽고 쓰세요. -
t를 하나만 구하고 끝낸다
4t²=9에서 t=3/2와 t=−3/2가 모두 나옵니다. 두 경우를 각각 ㉠에 대입해야 a=26/3과 a=−26/3이 갈립니다. 한쪽만 계산하면 부호를 찍는 셈입니다. -
“양수 a”라는 단서를 흘린다
이 조건이 두 경우 중 하나를 버리는 유일한 근거입니다. 답을 적기 전에 문제 문장으로 돌아가 조건을 다시 확인하세요. -
2t(−6t+a)를 전개할 때 부호를 뒤집는다
2t(−6t+a)=−12t²+2at이고 이것이 −1이므로 12t²−2at=1입니다. 양변에 −1을 곱하는 이 한 줄에서 부호가 어긋나면 4t²=9 대신 엉뚱한 식이 나옵니다.
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